Дифференцирование сложной функции

Рассмотрим вопрос о дифференцировании сложной функции нескольких переменных вида: U=f(M)=f(X1,x2,…xn) (1), Xi=ji(t1,t2,…,tk), I=1,2,…m (2)

TЕОР: Пусть функция (2) дифференцируема в некоторой точке Nо (, а функция (1) дифференцируема в точке Мо(, причем Тогда сложная функция u=f(x1,x2,…,xn), где Х1,Х2,…,Хn определяется по формулам (2) дифференцируема в точке Мо, при этом частные производные этой сложной функции вычисляются по формулам:

……………………………………

в которых берутся в точке Mо, а частные производные берутся в точке Nо.

ТЕОР: если функции x=x(t), у=у(t) дифференцируемы в точке To, а функция z=f(x,y) дифференцируема в точке Мо(Xo,Yo), где Xo=X(to), Уo=У(to), то z=f(x(t),y(t)) дифференцируется в точке to, причем производная сложной функции dz/dt вычисляется по формуле