Неявные функции

ОПР: если переменная u является по смыслу функцией аргументов X1, X2, …, Xn, задается по средством функционального уравнения F(u, X1, X2,…, Xn)=0, то она задана неявно.

Частные производные неявной функции вычисляются по формулам:

,…,

Рассмотрим совокупность m неявных функций, которые задаются посредством системы m функциональных уравнений:

F1(u1, u2,…, um, x1, x2,…, xn)=0

F2(u1, u2,…, um, x1, x2,…, xn)=0 (1)

----------------------------------------

Fm(u1, u2,…, um, x1, x2,…, xn)=0

Пусть u1, u2,…,um функции переменных x1, x2,…,xn определены как решение системы m функциональных уравнений (1).

U1=j1(x1, x2,…, xn)

U2=j2(x1, x2,…, xn) (2)

-----------------------

U3=j3(x1, x2,…, xn)

Поставим вопрос о разрешимости системы (1) относительно u1, u2,…,um

ОПР: под решением системы (1) понимать совокупность m функций таких, что при подстановке их в систему (1) все уравнения системы обращаются в тождества.

ОПР: это решение непрерывно и дифференцируемо в области D (изменение переменных x1, x2,…,xn), если каждая из функций u1, u2,…,um непрерывна и дифференцируема в этой области.

Введем в рассмотрение определитель Якобиана.

ТЕОР: система (1) будет разрешима, а решение непрерывно и дифференцируемо, если Якобиан не равен 0.