Производная по направлению. Градиент

Рассмотрим функцию трех переменных u=f(x,y,z). Пусть она определена в некоторой окрестности точки Мо(хо,yo,zo) принадлежащей 3-мерному евклидову пространству и дифференцируема в точке Мо. Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из точки Мо. Каждый такой луч задается единственным вектором (соsa, cosb,cosg) Угол наклона к осям. Зафиксируем один такой луч. Проведем из точки Мо луч, содержащий единичный вектор M. Зафиксируем на нем точку М и определим отрезок МоМ. Если l - длина этого отрезка, то его координаты (lcosa, lcosb, lcosg) C другой стороны:

(x-xo, y-yo, z-zo) Т.о. получили один и тот же отрезок:

Приравняем

(2) (1)

u=f(Xo+lcosa, Yo+lcosb, Zo+lcosg) Т.о. u - сложная функция.

ОПР: Производную указанной сложной функции по переменной l, взятую в точке l=0 называют производной функции u=f(x,y,z) в точке Мо по направлению, определяемому единичным вектором l. Обозначение:

ОПР: Градиентом функции u=f(x,y,z) в данной точке Мо(xo,yo,zo) называется вектор, координаты которого имеют вид grad(Mo)=

Если: u=f(x1,x2,…,xn) Mo(

Основные свойства градиента:

1. Градиент функции y=f(x,y,z) в точке Мо характеризует направление и величину максимального роста функции в точке Мо.

2. Производные функции u=f(x,y,z) в точке Мо по направлению, определенные градиентом этой функции в точке Мо имеет максимальное значение по сравнению со значением производной в этой точке по любому другому направлению

Геометрический смысл градиента:

ОПР: Линией уровня для функции двух переменных u=f(x,y) называется линия на которой функция сохраняет свое постоянное значение.

Если в каждой точке линии уровня M(xо,yо) построить касательную, то вектор-градиент в точке Мо будет перпендикулярен этой касательной.

Поверхность уровня – функция u=f(x,y,z) в точке Мо (xo,yo,zo) называется поверхность на которой функция сохраняет свое постоянное значение.

Свойства: если в каждой точке Mo(xo,yo,zo) провести касательную поверхность, то вектор градиент будет ортогонален этой поверхности.