Достаточное условие локального экстремума функции n переменных

Пусть функция u=f(X1, X2, …, Xn) 1 раз дифференцируема в окрестности точки

Мо( и 2 раза дифференцируема в самой точке Мо. Кроме того Мо – стационарная точка. Тогда

1) если d²u положительно определенная квадратичная форма от переменных dx1, dx2,…, dxn, то функция имеет в точке Мо локальный min

2) если d²u отрицательно определенная квадратичная форма от переменных dx1, dx2,…, dxn, то функция имеет в точке Мо локальный max

3) если d²u знакопеременная квадратичная форма от переменных dx1, dx2,…, dxn, то экстремума в точке Мо не существует.

Следствие: Пусть функция 2 переменных u=f(x, y) 1 раз дифференцируема в окрестности точки Мо и 2 раза дифференцируема в точке Мо и Мо – стационарная точка. Тогда если в точке Мо выполняется условие Ai=a11*a22 – a12*a21>0, то экстремум существует; если a11>0, то Мо – min; если a11<0, то Mo – max. Если a11*a22 – a12*a21<0, то экстремума не существует.