Дифференцируемость функции n переменных

U=f(x1,x2,…xn) в точке M(x1,…,xn) записывается в виде

ОПР: Функция u=f(x1,…xn) называется дифференцируемой в т М(x1, x2, …xn), если ее полное приращение представлено в виде

(2) Du=A1Dx1+A2Dx2+….+AnDXn +a1Dx1+…anDxn, где А1, А2, …, Аn некоторые числа, не зависящие от DX1, DX2…, DXn числа, а a1, a2, …, am б-м функции соответственно при Dх1®0, Dх2®0, …, Dхm®0 Условие называется условием дифференцируемости функции в данной точке М евклидова пространства Е^m

Соотношение (2) называется условием дифференцируемости функции, причем a1=a2….an=0, при DХ1=DХ2=DХ3…DХn=0 можно записать следующим образом: u=А1 Х1+ А2 Х2+…+ Аn Хn

Рассмотрим р= , тогда £1, х=

| |£р( £р(б-м)()(б-м)=0(р)

Аналогично А1 главная часть приращения, а 0(р) б-м более высокого порядка чем р.

уравнение 2 можно записать как u=А1DХ1+А2DХ2+…+АnDХn+0(p)

Если существует Аi¹0, то главной частью приращения является

А1DХ1+А2DХ2+…+АnDХn+0(p) Она линейна относительно приращения аргумента.

Если Аi=0, I= , то главная часть также будет равна 0 и функция будет дифференцируема в данной точке по определению.

TЕОР: Если u=f(x1, x2, x3,…, xn) дифференцируема в точке M(x1, x2,…, xn),то существуют частные производные данной функции по всем переменным, причем , где I= .

Док-во: из условий дифференцируемости функции (2) запишем: DxiU=AiDXi+aiDXi, I= . Найдем предел :

Следствия:

1) условие дифференцируемости функции в точке М можно записать в виде:

DxkU= (3)

2) если u=f(x1, x2, x3…xn) дифференцируема в точке М, то ее приращение представимо в форме (2) или (3) единственно

3) если u=f(x1, x2,…xn) дифференцируема в точке М(x1, x2,…xn), то она непрерывна в каждой точке. По 4 определению непрерывности функции

ТЕОР: Достаточное усл диф: Если функция u=f(x1, x2,…,xn) имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точки Мо( причем все частные производные непрерывны в самой точке Мо, то указанная функция дифференцируема в этой точке.