Непрерывность функции n переменных

Пусть функция u=f(M) определена на множестве {M} n -мерного евклидова пространства. Возьмем точку АÎ{M}, любая d -окрестность которой содержит точки множества М.

ОПР: Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке

ОПР: (Г) Функция u=f(M) называется непрерывной в т. А, если для любой последовательности {Mn} сходящейся к А, соответствующая ей последовательность {f(Mn)} сходится к f(A)

ОПР: Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если для любого e>0 найдется отвечающее ему положительное число d, такое что для всех M принадлежащих {M}, удовлетворяющих условию р(М,А)<d выполняется неравенство |f(М)-f(А)|<e

ОПР: Функция u=f(M) непрерывна на множестве {M} если она непрерывна в каждой точке этого множества.

ОПР: Точки n -мерного евклидово пространства, для которых функция u=f(M) не обладает свойством непрерывности называются точками разрыва этой функции.

ОПР: Приращением или полным приращением функции u=f(M) в точке А называется разность Du=f(M)-f(A)

ОПР: Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при M®А.

Рассмотрим частное приращение функции в точке М (X1,X2,..Xn)

Зафиксируем все переменные этой функции, кроме одной, аргументу X1 дадим приращение Dx1, имеем:

Du=f(x1+Dx1, x2+Dx2,…, Xn) – f(x1, x2,…, Xn)

U=f(x1, x2,…, xn)

Dx1U=f(x1+Dx1, …, xn) – f(x1, x2,…, Xn)

Причем Dx1 М’(x1+Dx1,…xn)Î{M}

Аналогично выводится частное приращение функции по остальным переменным

D_хnU=f(X1,x2, …, Xn-1, Xn+ Dxn) – F(x1, x2,…Xn)

ОПР: Функция u=f(x1,x2,…xn) называется непрерывной в т М(x1, x2, …xn) по переменной Хк, если частное приращение этой функции DхкU является б-м функцией при Dхк®0

Для непрерывных функций справедливые теоремы аналогичные теоремам о непрерывных функциях одной переменной:

1. Пусть функции f(M) и g(M) непрерывны на одном и том же множестве {M}

Тогда функции f(M)±g(M), f(M)*g(M) и f(M)\g(M) также непрерывна в точке F

(частное при g(A)¹0)

Также справедливы:

1. теорема об устойчивости знака непрерывной функции

2. 2 теорема Больцано-Коши о прохождении любой непрерывной функции через промежуточное значение

3. 1 и 2 теоремы Вейерштрасса.