Понятие функции n переменных. Предел функции n переменных

ОПР: Пусть каждой точке М(X1, X2,…, Xn) из множества точек {M} n -мерного евклидова пространства Еⁿ по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число u из числового множества U. Тогда будем говорить, что на множестве {M} задана функция u=f(M). При этом множества {M} и U называются соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M), а u частным значением функции в точке M.

ОПР: Пусть каждому К из множества натуральных числе поставлена в соответствие точка МкÎЕⁿ, то последовательность точек М1, М2…Мn будет называться последовательностью точек n-мерного Евклидова пространства

ОПР: Последовательность точек {Мk} включенных в Еⁿ называется сходящейся, если существует такая точка А, что для любого числа e>0 можно указать номер N, начиная с которого (при n>N) все точки этой последовательности будут находится в e -окрестности точки А, т.е. р(Мn, А)<e Тогда число А называется пределом последовательности {Mn}

Рассмотрим функцию u=f(M), определенную на множестве М, включенном в n -мерное евклидово пространство. (D(f)={M}ÎЕⁿ)

Пусть а - некоторая точка n -мерного евклидова пространства:

1) АÎ{M}

2) АÏ{M} но в любой e -окрестности точки А содержится хотя бы одна точка множества М

ОПР: (Г) Число b называют пределом функции f(M) в точке А (при М®А), если для любой последовательности точек {Mn} из множества {M}, сходящейся к точке А (Mn отлична от А), соответствующая последовательность значений функции {f(Mn)} сходится к b.

ОПР: (К) Число b называется пределом функции f(M) в точке А, если для любого числа e>0 можно найти такое число d>0, что для всех точек М множества {M} из d -окрестности точки А (удовлетворяющих неравенству р(М,А)<d) выполняется неравенство |f(M)-b|<e

TЕОР: Пусть две функции f(M) и g(M) определенные на одном множестве {M}, имеют соответственно пределы b и с в точке А. Тогда функции f(M)±g(M), f(M)g(M) и f(M)\g(M) (при с¹0) имеют пределы в точке А, равные соответственно b±c, bc и b\c.

ОПР: Функция u=f(M) называется б-м в точке А, если ее предел в ней равен 0

ОПР: Функция u=f(M) называется б-б в точке А, если ее предел в ней бесконечен