Тема: Елементи топології

Необхідні відомості: 1. Визначення метричного і нормованого просторів

2. Визначення відкритих і замкнутих множин і їхньої властивості.

3. Еквівалентність метрик і норм.

Задачі

1. Метричні і нормовані простори

1.1 ρ₁ (x,y) = arctg│x-y│ на R¹ – метрика?

1.2. Чи буде метричним простором сімейство всіх не порожніх підмножин метричного простору Х, якщо відстані між множинами Е Х и F Х визначити рівністю ρ (Е, F) = ρ (x,y)?

1.3 Нехай Х – множина усіх точок окружності С; приймемо за відстань між точками х є Х і у є Х, візьмемо довжину найкоротшої дуги окружності С, що з'єднує х і у. Чи є ця відстань метрикою?

1.4. Показати, що Rⁿ є векторним простором над полем дійсних чисел. Чи є функція нормою в Rⁿ?

1.5. Нехай Е - нормований простір. Довести, що для будь-яких х і у.

1.6. Привести приклад метрики в R¹ не володіє властивостями достатніми для визначення її нормою.

2. Відкриті і замкнуті множини і їхні властивості. Еквівалентні метрики і норми.

2.1. Побудувати ε – куля з центром у точці (0,0) у просторі R² з метрикою

ρ((,у), ( ₁,у₁)) =

2.2. Чи буде відкритою множина, яка містить кінцеве число точок у просторі R².

2.3. Довести, що внутрішність множини – відкрита множина.

2.4. Довести властивості відкритих і замкнутих множин.

2.5. Побудувати множину Е, для якої Е' Ø, а Е''= Ø.

2.6. Довести, що Е' – завжди замкнуто (для будь-якого Е).

2.7. Нехай на Е задані метрики ρ₁ і ρ₂. Якщо існують k, k₁>0 такі, що для будь-яких х, у є Е виконуються нерівності:

ρ₁(х,у) k₁ρ₂(х,у)

ρ₂(х,у) kρ₁(х,у),

то метрики еквівалентні.

2.8. Довести еквівалентність у R³ норм , , .

Задачі для самостійного рішення.

1. Нехай Х=R¹, ρ (x, y)= sin2(x-y). Чи є (х, ρ) метричним простором?

2. Нехай Х=R¹, ρ (x, y)= . Чи є (х, ρ) метричним простором?

3. Нехай Х – довільна не порожня множина ρ (x, y)=1 при , ρ (x, y)=0 при х = у. Чи буде (Х, ρ) метричним простором. Чи можна метрику ρ задати нормою?

4. Нехай Х – множина усіх прямих на площині, що не проходять через початок координат. Визначите метрику, якщо:

l₁: x cosα₁ + y sin α₁ - с₁ =0;

l₂: x cosα₂ + y sin α₂ - с₂ =0; , с₁, с₂ 0, тоді

ρ (l₁,l₂) = .

Чи буде ρ – метрикою?

5. Нехай у R² задана Побудувати Вε(0).

6. Нехай Х- довільний векторний простір. Розглянемо функцію

Чи буде це нормою?

7. Довести, що внутрішність перетинання двох множин дорівнює перетинанню їх внутрощів

8. Нехай Х=[0,1] [0,1) R². Указати точки, для яких Х не є околицею.

9.Нехай Х- простір із задачі 4. Побудувати В_r(х), коли r<1 і r 1. Яка множина є околицею точки х є Х.

10. Довести, що внутрішність множини Е є об'єднанням усіх відкритих множин, що містяться в Е.

11. Довести, що для будь-якого А Х в метричному просторі (Х, ρ) і для будь-якого ε >0 множина х таких, що ρ (х, А) = ρ (x,y) < , – відкрита.

12. Привести приклад зліченої множини на площині, що не має граничних точок.

13. Привести приклад зліченої множини на відрізку [0,1] такої, щоб множина її граничних точок збігалася з відрізком [0,1].

14. Довести, що замкнуте об'єднання двох множин дорівнює об'єднанню їхніх замикань.

15. Довести, що границя довільної множини Е – завжди замкнута.

16. Побудувати незлічену множину Е на площині таку, що Е= .

17. Привести приклад еквівалентних метрик на площині R², для яких не виконується мова задачі 2.7.