Границя послідовності та її властивості

Нехай метричний простір. Послідовність в Е, це функція : N→E i _n = (n) E, яку будемо позначати { _n}

Означення. Послідовність { _n} має границю = у просторі якщо: .

Якщо Е - нормований простір з нормою , то означення має вигляд: послідовність { _n} має границю = у просторі Е якщо: .

Якщо:

1. E = R, означення має вигляд: = якщо: .

2. Е = Rⁿ х=( ₁,..., _n) х_k = , означення має вигляд: х= якщо:

.

Приклад. , довести, що =0.

Доведення. Розглянемо нерівність , тоді , тобто існує

для якого виконується твердження:

. Отже

Загальне визначення границі послідовності можна сформулювати в геометричному стилі.

Означення. Для будь-якого околу V точки х існує номер N(V), n>N: x_n V.

Останнє означення знадобиться коли Е - топологічний простір, але коли Е - метричний простір, то збіжність (існування границі) послідовності - властивість топологічна, а не метрична.

Приклад. Нехай E = R¹ _n = (—1)ⁿ.Тоді { _n} не має границі. Це випливає з того, що для будь-якого R¹ обираючи окіл , що не містить 1 або -1 маємо не виконання означення, тобто - не є границя .

Властивості границі.

Теорема 1. Якщо послідовність має границю у топологічному просторі Е, то вона єдина.

Доведення. Припустимо, що має дві границі в Е - і b. За аксіомою Хаусдорфа Ø, V i W околи i b відповідно. Тоді і і , що суперечить Ø. Таким чином наше припущення невірне.

Означення. Нехай n₁<n₂<… будь-яка зростаюча послідовність натуральних чисел. Частину елементів послідовності з номерами n₁, n₂, … будемо називати підпослідовністю послідовності .

Теорема 2. Нехай Е - топологічний простір, тоді для того, щоб мала границю необхідно і достатньо, щоб будь-яка підпослідовність послідовності мала границю причому одну і ту ж.

Доведення слідує з означення границі. (Провести самостійно).

Теорема 3. Нехай Е - метризований простір і послідовність збіжна в Е, тоді множина обмежена.

Доведення. Нехай .

Нехай = max( (x, x₁),..., (x,x_N), ), тоді (х, х_n) , тобто належить кулі радіуса .

Зауваження. 1. Якщо E=R¹, то збіжна послідовність означає, що існує М, таке що .

2. Якщо E=Rⁿ, то обмеженість означає, що існує М, таке що .

Теорема 4. Для того, щоб точка метризованого простору Е була граничною для А, необхідно і достатньо, щоб

Доведення.

Достатність. У випадку виконання умови для будь-якого околу V точки , V містить точки послідовності, тобто точки А, отже — гранична точка для А.

Необхідність. Нехай А'. Розглянемо кулю з центром у точці радіуса . У ній існує _n А, . Послідовність .