![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Множини Е, Ø - замкнені;
2. - замкнена, якщо Ві – замкнені;
3. - замкнена, якщо Ві – замкнені;
Доведення провести самостійно.
Зауваження. Існують підмножини, що не є ні замкненими ні відкритими.
Наприклад:
Означення. Околом точки
Е називається довільна підмножина Е, яка містить точку
разом з деякою відкритою кулею з центром в
.
Теорема. Для того, щоб підмножина А простору була відкритою необхідно і достатньо, щоб вона була околом кожної своєї точки.
Доведення. Нехай А - окіл кожної своєї точки. Тоді разом з точкою А містить кулю з центром в
. Тоді, А - відкрита множина. Навпаки, якщо А - відкрита множина і
А, то існує відкрита куля з центром в
, який міститься в А, значить, А - окіл точки
.
Означення. Замиканням підмножини А називається перетин усіх замкнених підмножин Е, які містять А.
- замкнена (за властивістю замкнених множин).
- мінімальна замкнена множина, що містить А.
Приклад: .
Означення. Точка
Е називається граничною точкою підмножини А, якщо у будь-якому околі точки
є точки множини А, відмінні від
.
Теорема. Замкнена множина містить усі свої граничні точки.
Доведення. Нехай - гранична точка для множини В. Припустимо, що
- відкрита множина. Тоді існує відкрита куля з центром в
, що належить СВ, тобто не має спільних точок з В. Прийшли до суперечності, отже, замкнена множина містить усі свої граничні точки.
Теорема. одержується з А шляхом приєднання до А її граничних точок. (Доведіть самостійно)
Нижче - множина граничних точок множини А.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1133 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!