Властивості замкнених множин

1. Множини Е, Ø - замкнені;

2. - замкнена, якщо В_і – замкнені;

3. - замкнена, якщо В_і – замкнені;

Доведення провести самостійно.

Зауваження. Існують підмножини, що не є ні замкненими ні відкритими.

Наприклад:

Означення. Околом точки Е називається довільна підмножина Е, яка містить точку разом з деякою відкритою кулею з центром в .

Теорема. Для того, щоб підмножина А простору була відкритою необхідно і достатньо, щоб вона була околом кожної своєї точки.

Доведення. Нехай А - окіл кожної своєї точки. Тоді разом з точкою А містить кулю з центром в . Тоді, А - відкрита множина. Навпаки, якщо А - відкрита множина і А, то існує відкрита куля з центром в , який міститься в А, значить, А - окіл точки .

Означення. Замиканням підмножини А називається перетин усіх замкнених підмножин Е, які містять А.

- замкнена (за властивістю замкнених множин).

- мінімальна замкнена множина, що містить А.

Приклад: .

Означення. Точка Е називається граничною точкою підмножини А, якщо у будь-якому околі точки є точки множини А, відмінні від .

Теорема. Замкнена множина містить усі свої граничні точки.

Доведення. Нехай - гранична точка для множини В. Припустимо, що - відкрита множина. Тоді існує відкрита куля з центром в , що належить СВ, тобто не має спільних точок з В. Прийшли до суперечності, отже, замкнена множина містить усі свої граничні точки.

Теорема. одержується з А шляхом приєднання до А її граничних точок. (Доведіть самостійно)

Нижче - множина граничних точок множини А.