Топологічні простори

Існує два види властивостей: метричні, які залежать від метрики; топологічні, що не залежать від метрики, а залежать тільки від системи відкритих і замкнених множин. Зрозуміло, що топологію можна ввести, не використовуючи метрику.

Означення. Е називається топологічним простором, якщо в ньому виділено клас підмножин, відкритих у цій топології, які задовольняють властивостям відкритих множин (властивості 1-3 відкритих множин лекція №6).

Нижче ми будемо допускати (без додаткових застережень), що система відкритих множин у просторі Е задовольняє також аксіомі Хаусдорфа. Ця вимога завжди буде виконуватися у прикладах, що будуть розглядатися.

Приклад. E=R¹ відкриті множини – множини, що за допомогою властивостей 1-3 побудовані з будь-яких інтервалів (a, b) R¹.

Отже, відкрита множина в R¹, буде представлятися як об’єднання, не більше ніж зліченної кількості, попарно не перетинаючих інтервалів (довести самостійно або знайти доведення у літературі).

Нормовані простори є метричними, а ці – топологічними просторами.

Топологічний простір - метризований, якщо існує метрика, що породжує топологію. В основному ми будемо мати справу з метризованими просторами (R¹, Rⁿ, функційні простори).

Нехай Е - топологічний простір, a F Е. У множині F можна ввести топологію, приймаючи за відкриті множини в F перетини F з відкритими множинами у розумінні Е. У цьому випадку F - топологічний підпростір Е, топологія в F, індукована топологією Е.

Приклад. Е = R¹, F= , відкриті множини в F, це множини побудовані за допомогою властивостей 1-3 з множин виду , де (,b) будь-який інтервал з R¹.

Зауважимо, що, наприклад, відкрита множина у F - , з точки зору Е, не є відкрита множина.