![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Існує два види властивостей: метричні, які залежать від метрики; топологічні, що не залежать від метрики, а залежать тільки від системи відкритих і замкнених множин. Зрозуміло, що топологію можна ввести, не використовуючи метрику.
Означення. Е називається топологічним простором, якщо в ньому виділено клас підмножин, відкритих у цій топології, які задовольняють властивостям відкритих множин (властивості 1-3 відкритих множин лекція №6).
Нижче ми будемо допускати (без додаткових застережень), що система відкритих множин у просторі Е задовольняє також аксіомі Хаусдорфа. Ця вимога завжди буде виконуватися у прикладах, що будуть розглядатися.
Приклад. E=R1 відкриті множини – множини, що за допомогою властивостей 1-3 побудовані з будь-яких інтервалів (a, b) R1.
Отже, відкрита множина в R1, буде представлятися як об’єднання, не більше ніж зліченної кількості, попарно не перетинаючих інтервалів (довести самостійно або знайти доведення у літературі).
Нормовані простори є метричними, а ці – топологічними просторами.
Топологічний простір - метризований, якщо існує метрика, що породжує топологію. В основному ми будемо мати справу з метризованими просторами (R1, Rn, функційні простори).
Нехай Е - топологічний простір, a F Е. У множині F можна ввести топологію, приймаючи за відкриті множини в F перетини F з відкритими множинами у розумінні Е. У цьому випадку F - топологічний підпростір Е, топологія в F, індукована топологією Е.
Приклад. Е = R1, F= , відкриті множини в F, це множини побудовані за допомогою властивостей 1-3 з множин виду
, де (
,b) будь-який інтервал з R1.
Зауважимо, що, наприклад, відкрита множина у F - , з точки зору Е, не є відкрита множина.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1049 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!