Теорема Вєйєрштрасса про монотонну послідовність. Число е

Теорема. Для того, щоб монотонно зростаюча (спадна) числова послідовність мала скінчену границю необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена зверху (знизу).

Доведення.

Необхідність. Слідує з властивостей послідовностей, що збігаються.

Достатність. Нехай зростаюча числова послідовність обмежена зверху, тоді існує . З означення виконується властивості:

1. .

2.

Отже: , тобто виконується означення границі послідовності і . Аналогічно доводиться випадок спадаючої числової послідовності.

Приклад. Число е.

Покажемо, що існує

Розглянемо послідовність Покажемо, що вона – спадна:

(Нерівність випливає з нерівності Бернуллі)

За теоремою Вєйєрштрасса існує скінчена границя послідовності . Тоді - існує. Позначимо