Топологічні простори. Еквівалентні метрики і топології

1. Еквівалентні метрики і норми,

Для означення систем відкритих і замкнених множин, околів, неперервних функцій не обов'язково мати метрику. Все це можна визначити виходячи з систем відкритих множини. Може статися, що дві різні метрики визначають одну і ту ж систему відкритих множин, тоді вони визначають однакові системи замкнених множин, околів і т.д.

Наприклад, (х,у) і 2 (х,у), визначені на довільній множині Е.

Означення. Дві метрики у просторі Е називаються еквівалентними, якщо вони визначають одну і ту ж систему відкритих множин (топологію).

Це означення можна перефразувати слідуючим чином, тотожне відображення Е (наділене однією метрикою) на Е (наділене другою метрикою) є гомеоморфізмом.

У векторному просторі дві норми еквівалентні, якщо еквівалентні відповідні їм метрики.

Теорема. Дві норми || ||₁ і || ||₂ на деякому векторному просторі Е еквівалентні тоді і тільки тоді, коли існують такі додатні сталі k₁, k₂, що мають місце нерівності:

Доведення.

Необхідність. Позначимо через B₁(R) (B₂ (R)) замкнену кулю з центром в точці 0 радіуса R у розумінні || ||₁ (|| ||₂). Нехай норми еквівалентні. Тоді В₁(1) - окіл 0 одночасно в обох метриках, отже таке, що В₁(1) .

За допомогою гомотетії з коефіцієнтом k₂R отримуємо включення , що означає: з нерівності || х||₂ R . Так як перша нерівність справедлива для ||х||₂=R, то друга дає при цьому . Міняючи місцями || ||₁ і || ||₂ одержимо другу нерівність.

Достатність. Якщо умова теореми виконується, то із нерівності ||х||₂ і другої нерівності випливає тобто . Звідси випливає, що будь-яка куля у першій метриці заздалегідь містить деяку кулю у другій метриці, і навпаки. За допомогою паралельного перенесення включення переносяться на кулі з довільним центром.

Нехай А Е відкрита у розумінні метрики 1, тоді але тоді слідує: , тобто А - окіл кожної своєї точки у розумінні метрики , тобто відкрита у другій метриці. Аналогічно в обернену сторону, якщо поміняти і місцями і скористатися першою нерівністю. Таким чином обидві метрики задають одну і ту ж систему відкритих множин.

Наслідок. Усі три норми, визначені вище у Rⁿ - еквівалентні. Довести самостійно.

Має місце більш загальне твердження.

Теорема. В скінченовимірному векторному просторі над полем дійсних або комплексних чисел будь-які дві норми еквівалентні. Існує єдина система відкритих множин для будь-яких введених у ньому норм.

Зауваження.

1. Ця властивість не переноситься на нескінченновимірні векторні простори.

2. Якщо властивість топологічна (тобто залежить від системи відкритих множин, а не від метрики) у нормованому скінченновимірному просторі, то в незалежності від того, яку конкретну норму обрано, вона виконується.