Тема: Верхня та нижня грані множини. Точна нижня та верхня грані

Основні відомості:

1. Аксіома неперервності.

2. Визначення верхньої та нижньої грані множини.

3. Визначення sup та inf множини.

4. Теорема про існування sup та inf обмеженої множини.

5. Принцип Архімеда.

Задачі:

1. Обмеженість. Верхні, нижні грані. Мінімальні, максимальні елементи.

1.1. Довести, що множина обмежена, тоді і тільки тоді, коли існує таке , що для

всіх виконується нерівність .

1.2. Довести обмеженість множини X= .

1.3. Знайти точні верхні та нижні грані множин , .

Найбільші та найменші елементи цих множин, якщо такі елементи існують.

2. Точні грані.

2.1 Нехай та – X - множина чисел, протилежних числам .Довести, що

.

2.2 Нехай та X+Y= . Довести

2.3 Нехай та .Довести, що

2.4 Довести, що множина всіх правильних раціональних дробів

, не має найбільшого елемента. Знайти його точну верхню грань.

Завдання для самостійної роботи.

Довести обмеженість множини:

1.

2.

3.

4. Довести, що множина необмежена зверху.

5. Довести, що множина необмежена знизу.

6. Довести, що множина необмежена зверху і знизу.

Знайти точні верхні і нижні грані множин, найбільші і найменші елементи, якщо такі існують:

7.

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. Нехай і .Довести, що .

14. Нехай і . Довести, що .

15. Нехай і XY= .Довести, що .

16. Нехай і .Довести, що .

17. Нехай і .Довести, що .

18. Нехай і .Довести, що .

19. В умовах задачі 18 довести, що: .

20. і обмежені. Довести, що обмежено і .

21. В умовах задачі 20 довести, що: .

22. і обмежені. Довести, що обмежено і .