Тема: Відношення порядку. Впорядковані множини. Точна верхня і точна нижня грані. Дійсні числа

Необхідні відомості: Визначення бінарного відношення і відношення порядку.

Визначення верхньої та нижньої граней, точної верхньої та точної нижньої граней.

Визначення дійсних чисел, аксіоми повноти.

Теорема о верхній грані.

Задачі

1. Бінарне відношення і відношення порядку

1.1 Нехай Х=[0,1], побудувати бінарне відношення зобразити його на площині.

1.2 Нехай X=N ввести на N відношення порядку на основі подільності чисел і довести, що відношення – відношення порядку. Чи буде N впорядкованою множиною?

2. Точна верхня та точна нижня грані

2.1 , де Е- впорядкована множина, довести

2.2 Нехай , де Е- впорядкована множина для будь-яких , , то .

3. Визначення дійсних чисел. Теорема о верхній грані.

3.1 Перевірити, що Q задовольняє усім аксіомам дійсних чисел окрім аксіоми повноти.

3.2 Довести, що принцип верхньої грані еквівалентний аксіомі повноти.

Завдання для самостійної роботи.

1. Нехай x=R¹ побудувати бінарне відношення і зобразити його на площині.

2. Нехай Х – множина усіляких множин. Показати, що відношення включення – відношення порядку. Чи буде Х впорядкованим?

3. Нехай Х=R². Розглянемо відношення на R² таке, що (х, у) (х₁, у₁), якщо . Чи буде це відношення відношенням порядку?

4. Нехай Х=R³. Розглянемо відношення на R³ таке, що (х, у, z) (х₁, у_1, z₁), якщо , , . Чи буде це відношення відношенням порядку, а множина Х - впорядкованою?

5. Ввести відношення порядку подібно до задачі 4 на Rⁿ.

6. , де Е- впорядкована множина, довести .

7. Нехай і для будь-яких , , . Якщо , то .

8. Нехай х, у – множини із задачі 7, то або існує max x, або існує min y.

9. Показати на прикладі, що аксіома повноти не виконується на множині Z.

10.Який вид має мати множина А – підмножина R¹, щоб на ньому виконувалася аксіома повноти.

11. Нехай на R³ введено відношення порядку із задачі 4. Якщо А, В і будь-який елемент із А знаходиться в відношенні з будь-яким елементом із В, то існує елемент (x₀, y₀, z₀) такий, що

для і .