Принцип Архімеда. Наслідки

Теорема 1. У будь-якій не порожній підмножині множини N існує максимальний елемент.

Доведення. Нехай A N, c = sup A (існує за теоремою про верхню границю). Тоді . Маємо: n =max A, оскільки усі натуральні числа, які більші n, не менші n+1, тобто n+1> c і не містяться у множині А.

Наслідок. Множина N необмежена зверху.

Теорема 2. У будь-якій не порожній обмеженій зверху підмножині множини Z існує максимальний елемент,

Доведення. Аналогічно доведенню теореми 1.

Наслідок. Множина Z необмежена зверху.

Самостійно сформулювати та довести властивості аналогічні теоремам 1,2 для мінімального елемента.

Принцип Архімеда. Нехай х - довільне дійсне число, a h- довільне додатне число. Тоді існує єдине ціле число k, для якого .

Доведення. Розглянемо множину - не порожня (оскільки Z - необмежена зверху) обмежена знизу підмножина множини цілих чисел. В ній існує єдиний мінімальний елемент k, тобто , тоді .