Приклад. 1. Множини точок двох відрізків - рівнопотужні

1. Множини точок двох відрізків - рівнопотужні. Взаємно-однозначно співставити елементи цих множин слід так

2. Множини точок півінтервалів - рівнопотужні. Взаємно-однозначно співставлення елементів цих множин відбувається за допомогою функції y=tg x.

Рівнопотужними є множини натуральних чисел і парних натуральних чисел: N~{2n}, n↔2n.

Означення. Клас, якому належить множина X називається потужністю множини X або кардинальним числом множини X(card X).

Множини одного класу мають однакове кардинальне число, а різних класів -різне.

У класі кардинальних чисел існує відношення порядку: якщо - кардинальне число деякої підмножини множини потужності , то .

Іншими словами: cardX cardY .

Подібно відношенню порядку на числовій прямій, введене відношення упорядковує потужності, А саме:

1. card X card Y і card Y card Z card X card Z.

2. card X card Y і card Y card X card X = card Y (Теорема Шредера-Берштейна).

3. x, y (card X < card Y) або (card Y< card X) (теорема Кантoра).

Таким чином, клас кардинальних чисел впорядкований.