Класи чисел

Означення. Множина називається індуктивною, якщо

Приклад.

Означення. Множиною натуральних чисел N називається найменша індуктивна множина, що містить 1(1,2,3,...).

Принцип математичної індукції. Якщо підмножина Е N така, що 1 Е і разом з х Е число х +1 Е, то E=N.

Означення. Об'єднання множини N, множини чисел, протилежних N і {0} називається множиною цілих чисел Z.

Означення. Числа виду , m Z, n N називаються раціональними числами, а множину цих чисел називають множиною раціональних чисел Q.

Означення. Дійсні числа, які не є раціональними називаються ірраціональними. Загалом отримали: N Z Q R

Алгебраїчне число - корінь рівняння а_охⁿ + a₁x^n-1 +... + а_n =0 a_i Q в протилежному випадку число трансцендентне.

( - трансцендентне число (1882 p.); - трансцендентне, - алгебраїчне, - ірраціональне (проблема Гілберта)).

Покажемо, що Ø

Доведемо, що існує, і - число ірраціональне.

Розглянемо дві множини X, Y такі, що , , 1 Х, 2 Y- множини X і Y - не порожні.

І. Покажемо, що s² = 2.

1) Припустимо, що s² < 2. Розглянемо s+ . Відомо, що , розглянемо

де

, .

Отже , прийшли до суперечності, припущення s²<2 – невірне.

2) Припустимо s² >2, тоді <s. Міркуючи аналогічно як і в попередньому прийдемо до суперечності, тобто припущення s² > 2 знову невірне.

Залишається єдине – s² =2.

II. Доведемо, що s - ірраціональне. Припустимо, що s - раціональне. Тоді за означенням нескоротний дріб.

- парне число, значить m - парне: m = 2к; ; ; 2k²=n²; отже n-парне, n=2p - скоротний дріб, отже припущення невірне, тобто s - ірраціональне.