Дійсні числа. Теорема про точну верхню границю

Означення. Множина R називається множиною дійсних чисел, а елементи дійсними числами, якщо виконуються аксіоми:

I. аксіоми додавання;

II. аксіоми множення;

III. аксіоми порядку;

IV. аксіома повноти: якщо X i Y непусті підмножини R такі, що і , , то , що і .

(Самостійно знайти формулювання аксіом І, ІІ, ІІІ (з курсу алгебри)).

Поняття верхньої (нижньої) границі і точної верхньої (точної нижньої) границі автоматично переноситься на множину R.

Приклад. Нехай дана множина А=[0, 1), тоді min A=0, sup A=1.

В множині R Означення точної верхньої (нижньої) границі можна сформулювати дещо по іншому, а ніж у загальному випадку.