Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке

Определение: Функция называется строго возрастающей на отрезке [a,b], если для любых точек , из [a,b], удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .

Определение: Функция называется неубывающей на [a,b], если из того, что и следует, что .

Определение: Функция называется строго убывающей на отрезке [a,b], если из того, что и следует, что .

Определение: Функция называется невозрастающей на [a,b], если из того, что и следует, что .

Пример:

Если убывает на и на , то нельзя говорить, что убывает на .

Теорема 1: (необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке )

Если функция возрастает (неубывает) в точке и дифференцируема в , то .

Доказательство:

Теорема доказана.

Пример: возрастает в 0 и

Теорема 1’: (необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке )

Если функция убывает (невозрастает) в точке и дифференцируема в , то .

Доказательство – аналогично теореме 1.

Теорема 2: (достаточное условие возрастания)

Если функция дифференцируема в и , то возрастает в точке .

Доказательство:

возрастает.

Теорема доказана.

Замечание: Если в точке , то ни про возрастание, ни про убывание ничего сказать нельзя.