Формула Тейлора для важнейших элементарных функций

Общий вид формулы Тейлора для функций:

, где - остаточный член.

При получаем так называемую формулу Маклорена.

Формула Тейлора для важнейших элементарных функций:

1) ,

, , . Отсюда получаем, что

. ,

, где . И в итоге имеем: , , .

Пример:

Пусть , тогда получим:

, .

2) ,

Поскольку , , формула имеет вид: , где n – нечётное число, а остаточный член в форме Лагранжа равен , .

Очевидно, что для остаточного члена справедлива следующая оценка: .

3) ,

Поскольку , то

, ,

, , .

4) ,

, , , ,

,

, при ,

Рассмотрим остаточный член в форме Коши:

, , ,

, где , и .

5) ,

, , ,

,

Остаточный член в форме Пеано.