Теорема Ролля

Теорема:

Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует точка , такая, что .

Доказательство:

Так как функция f непрерывна на [a,b], то существует точка x₁, в которой f достигает максимума и точка x₂, в которой f достигает минимума. Рассмотрим 2 случая:

1. Обе точки x₁ и x₂ совпадают с a или b, тогда

И тогда производная

1. Одна из точек не является концевой отрезка [a,b]. Пусть - та из них, которая , тогда в точке достигается локальный экстремум, кроме того, , так как по условию существует . Поэтому по теореме Ферма , что и требовалось доказать.

Контрпример 1

Уберем непрерывность в точке b: теорема потеряет силу.

Контрпример 2

Уберем дифференцируемость в одной из точек: теорема потеряет силу.

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если выполнены все условия теоремы, то на графике функции! существует точка касательная в которой параллельна оси x.

Физический смысл: при прямолинейном движении если перемещение тела = 0, то существует момент времени, в который скорость тела = 0.