Достаточные условия экстремума

Теорема 1: (первое достаточное условие существования экстремума)

Если f(x) дифференцируема в , f’ имеет разные знаки слева и справа от Xo => Xo – точка экстремума.

Доказательство:

Т.к f(x) с одной стороны возрастает, с другой убывает, т.е.

- max

- min

Теорема доказана.

Теорема 2: (второе достаточное условие существования экстремума)

Если в f()=0, f’’()>0 – min; f’’()<0 – max

Доказательство:

f’()=0, существует f’’()=> f’ определена в U()

f’(x) в точке возрастает(f’’()>0)

f’(x) в точке убывает(f’’()<0)

1) f’’()>0 f’(x) возрастает, f’()=0 =>

при x<

при x< => – точка минимума

2) Аналогично для f’’()<0…