Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма

Если f убывает (не возрастает) в точке и дифференцируема в точке, то .

Доказательство:

Т.к. функция убывает (не возрастает), то, по определению 2’’,

, а значит и , теорема доказана.

Теорема 2: (Достаточное условие возрастания)

Если f(x) дифференцируема в точке , причем , то f(x) возрастает в точке .

Доказательство:

По теореме о сохранении знака:

, значит

f возрастает.

Теорема доказана.

Замечание: если , то про возрастание сказать ничего нельзя.

Теорема 2’: (Достаточное условие убывания)

Если f(x) дифференцируема в точке , причем , то f(x) убывает в точке .

Доказательство:

По теореме о сохранении знака:

, значит

f(x) убывает.

Теорема доказана.

Замечание: если , то про убывание сказать ничего нельзя.

Теорема Ферма: (Необходимое условие существования экстремума)

Если f(x) дифференцируема в точке и – точка локального экстремума, то .

Доказательство:

Пусть f(x) возрастает в точке , т.е.

, т.е. – не точка экстремума.

Аналогично невозможен случай , следовательно .

Теорема доказана.