Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма



Определение 1:. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если

.

Определение 1’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если

Определение 1’’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если

Определение 2. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если

.

Определение 2’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если

Определение 2’’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если

Теорема 1: (Необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке )

Если f возрастает (не убывает) в точке и дифференцируема в точке , то .

Доказательство:

Т.к. функция возрастает (не убывает), то, по определению 1’’,

, а значит и . Теорема доказана.

Теорема 1’ (Необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке )

Если f убывает (не возрастает) в точке и дифференцируема в точке, то .

Доказательство:

Т.к. функция убывает (не возрастает), то, по определению 2’’,

, а значит и , теорема доказана.

Теорема 2: (Достаточное условие возрастания)

Если f(x) дифференцируема в точке , причем , то f(x) возрастает в точке .

Доказательство:

По теореме о сохранении знака:

, значит

f возрастает.

Теорема доказана.

Замечание: если , то про возрастание сказать ничего нельзя.

Теорема 2’: (Достаточное условие убывания)

Если f(x) дифференцируема в точке , причем , то f(x) убывает в точке .

Доказательство:

По теореме о сохранении знака:

, значит

f(x) убывает.

Теорема доказана.

Замечание: если , то про убывание сказать ничего нельзя.

Теорема Ферма: (Необходимое условие существования экстремума)

Если f(x) дифференцируема в точке и – точка локального экстремума, то .

Доказательство:

Пусть f(x) возрастает в точке , т.е.

, т.е. – не точка экстремума.

Аналогично невозможен случай , следовательно .

Теорема доказана.





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 490 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.013 с)...