Теорема Коши. Физический смысл

Теорема: (Коши о среднем)

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [ a,b ] и имеют производные на интервале (a,b), одновременно не обращающиеся в ноль. При этом g(b)-g(a)¹0 ( что следует из условия g΄(x)¹0). Тогда на интервале (a,b) найдется точка ζ, для которой выполняется неравенство:

, a<ζ<b.

Доказательство: Вводим функцию H(x)=(f(b)-f(a))·g(x)-(g(b)-g(a))·f(x). Очевидно, что она непрерывна на [ a,b ] и имеет производную на (a,b), т.к. f(b)-f(a) и g(b)-g(a) постоянны. Кроме того, H(a)=H(b), поэтому по теореме Ролля найдется такая точка ζ из (a,b), что H΄(ζ)=0.

H΄(ζ)=(f(b)-f(a))·g΄(ζ)-(g(b)-g(a))·f΄(ζ)Þ (f(b)-f(a))·g΄(ζ)=(g(b)-g(a))·f΄(ζ) , т.к. по условию g(b)-g(a)¹0 и g΄(x)¹0 на (a,b).

Теорема доказана.

Физический смысл: Если f΄(x) и g΄(x) – скорости, то отношение перемещений равно отношению скоростей в какой-то момент времени.