Теорема о среднем Лагранжа

Теорема:

Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале . Тогда существует на интервале точка , для которой выполняется равенство

(1),

причем .

Доказательство:

В теореме Коши, возьмем . Тогда , , .

Из теоремы Коши: теорема доказана.

Физический смысл:

Найдется момент времени когда (средняя скорость равна мгновенной)

Геометрический смысл:

Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на функции, имеющей производную на , то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой и .

Равенство (1) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение удобно записывать в виде , где есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам . Тогда формула Лагранжа примет вид

Она верна, очевидно, не только для , но и для .