Формула Тейлора для дифференцируемых функций

Если функция f(x) n раз дифференцируема в точке а, то для нее существует многочлен - это многочлен Тейлора n-го порядка функции f(x) в точке a. Обозначим за - на сколько многочлен отличается от самой функции. называют остаточным членом. Нужно доказать, что для «хороших» функций будет достаточно мало. Докажем теорему, которую сформулируем в конце. =))

Рассмотрим функцию f; зафиксируем точку a, в которой будем раскладывать функцию, и произвольную точку x, такую что f(x) n-1 раз дифференцируема на [a,x] и n раз дифференцируема на (a,x). В точке а функция дифференцируема n-1 раз, значит для нее можно составить многочлен Тейлора n-1 порядка.

Представим в виде: , где р – произвольное число, H – некоторая функция, зависящая от x.

Рассмотрим функцию:

Рассмотрим F(u) на [a,x]: F(u) непрерывная на [a,x], дифференцируема на (a,x), F(x)=F(a) по теореме Ролля

; продифференцируем:

- и почти все взаимно уничтожается.

, тогда

; Подставим теперь p:=n;

- это остаточный член в форме Лагранжа. Подставим теперь p:=1

- это остаточный член в форме Коши.

Рассмотрим форму Лагранжа:

Пусть теперь f имеет непрерывную n-ю производную в точке а. Это означает, что на [a,x) функция n раз дифференцируема. Значит f(x) можно представить в виде:

;

, т.к. производная непрерывна. Тогда можно представить в виде:

;

- это формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Таким образом, мы доказали следующую теорему:

Теорема

Если функция n-1 раз дифференцируема на [a,x], n раз на (a,x), то она раскладывается по формуле Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Коши. Если функция f(x) имеет непрерывную n-ю производную в точке а, то в окрестности точки а она раскладывается по формуле Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа, Коши и Пеано.

Теорема (о единственности разложения функции по формуле Тейлора в форме Пеано)

Если , то , - коэффициенты из формулы Тейлора. Т.е. если есть какие-то другие коэффициенты , то они тоже есть коэффициенты из формулы Тейлора:

Доказательство.

Устремим , получим, что , т.к. ; тогда

сократив на , получим:

и опять же если .

И так мы можем проделать до n-го коэффициента. Теорема доказана.