Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Пусть функция имеет производную в точке (конечную): .

Тогда для достаточно малых можно записать в виде суммы и некоторой функции, которую мы обозначим через , которая стремится к нулю вместе с : ,

и приращение в точке может быть записано в виде:

или (1),

ведь выражение понимается как функция от такая, что ее отношение к стремится к нулю вместе с . Пояснение:

Определение.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде: (2),

где А не зависит от , но вообще зависит от .

Теорема 1: