Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл

Если функция f имеет производную f΄(x_o) в точке x_o, то существует предел , где Δ f=f(x_o+ Δ x)-f(x_o), , или , где A=f΄(x_o).

Определение:

Функция f дифференциируема в точке x_o, если ее приращение представимо в виде:

, где A Δ x=df. (*)

Дифференциал — это главная линейная часть приращения функции.

Если существует конечная производная f΄(x_o) в точке x_o, то функция f(x) дифференцируема в этой точке.

Верно и обратное: если функция f дифференцируема в точке x_o, т.е. ее приращение представимо в виде (*), то она имеет производную в точке x_o, равную A:

Геометрический смысл дифференциала:

A и B – точки графика f(x), соответствующие значениям x_o и (x_o+ Δ x) независимой переменной. Ординаты точек A и B соответственно равны f(x_o) и f(x_o+ Δ x). Приращение функции Δ f=f(x_o+ Δ x)-f(x_o) в точке x_o равно длине отрезка BD и представимо в виде суммы Δ f=BD=DC+CB, где DC=tgα Δ x=f΄(x_o) Δ x и α есть угол между касательной в точке A к графику и положительным направлением оси x. Отсюда видно, что DC есть дифференциал функции f в точке x_o:

DC=df=f΄(x_o) Δ x.

При этом на долю второго члена CB приращения Δ f приходится величина . Эта величина, при больших Δ x, может быть даже больше, чем главный член, но она есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δ x, когда Δ x→0.