Ах Ах Ах

Ах

^sin о / л \

1 при х>0,

не существует при х=0,

— 1 при л:<0.

параллельна оси абсцисс (257—258).

257. a) f (х) = х³-Зх² + Зх; б) f (х)=^-х⁴+ 16х;

б) f (х) = 3х⁴ — 6х² + 2; г) f (х) = х³ — Зх + 1.

258. a) f (х) = 2 cos х + х; б) / (x) = sin 2х + д/Зх;

в) f (х) = cos^x—^; г) / (х) = -у[2х — 2 sin х.

259. Под каким углом пересекается с осью Ох график функции-

a) f (х) = 3х — х³; б) / (x) = sin(x + ^-);

^в) f (х) = х² — Зх + 2; г) f(_x)=— cosx?

260. Под каким углом пересекается с осью Оу график функции:

^а) f(^x)=тЬ^-; ^б)

^в) f (х) = 4"(х—I)²; Г) f (х) = sin (2*+ -£-)?

20. Приближенные вычисления

Пусть, например, требуется вычислить приближенное значе­ние функции

f (х) = х⁷ — 2х⁶ + 3х² —х + 3

в точке х — 2,02. Значение f в близкой к 2,02 точке Хо = 2 находится легко: / (2)= 13. График f в окрестности точки 2 близок к пря­мой y = f (хо) + /' (хо)(х — хо) — касательной к нему в точке с абс­циссой 2. Поэтому } (2,02) ж у (2,02). Имеем у (х) = 7х⁶— 12х⁵ + + 6х-1, у (х₀)=У (2) = 75 и /(*)«t/(x) = 13 + 75-0,02 = 14,5. Вычисления на калькуляторе дают результат f (2,02)«14,57995. Вообще для дифференцируемой в точке х₀ функции f при Дх, мало отличающихся от нуля, ее график близок к касательной (проведенной в точке графика с абсциссой х₀), т. е. при малых Дх

f (x)ttf (хо)-\-У (*о) Дх. (1)

в) / (*)=*⁷ + 2*⁵ + 3; г) £(*) =—4* +sin 3*.

286. Докажите, что уравнение имеет единственный корень на каж­дом из данных промежутков Pi и Р₂:

а) *³ — 27* + 2 = 0, Pi=[-1; I], Р₂ = [4; 6];

б) *⁴ — 4* — 9 = 0, />,=[-2; 0], Р₂==[2; 3];

в) *⁴ + 6*² — 8 = 0, Я,=[—2; -1], Р₂ = [1; 2];

г) -1+3*²-*³ = 0, Я,=[-2; 0], Р₂=[2; 3].

Рассказ о происхождении терминологии, принятой в дифферен­циальном исчислении, был бы не полон без понятия предела и бесконечно малой. Подробнее о пределе говорится ниже, а пока заметим, что, например, производная определяется во всех руко­водствах именно как предел. Пишут /' (хо) =)im вместо при-

Лх->0 Ах

нятого выше обозначения f^r (^хо) ^ПР^И Дх-*0.

Обозначение lim — сокращение латинского слова limes (межа,

граница); уменьшая, например, Ах, мы устремляем значения к

«границе» f' (хо). Термин «предел» ввел Ньютон.

Примером бесконечно малой может служить функция (Ах)² от Дх, поскольку (Дх)²-И3 при Дх-*0. Вообще, если lim а (х) = 0, гово-

X—►Х'о

рят, что а (х) — бесконечно малая. Бесконечно малые играют важ­ную роль в математическом анализе, который поэтому часто на­зывают также анализом бесконечно малых.

Заметим наконец, что слово «экстремум» происходит от латин­ского extremum (крайний). Maximum переводится как наиболь­ший, a minimum — наименьший.

2. Из истории дифференциального исчисления.

1) Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейб­ницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Тем более поразительно, что задолго до этого Архимед не только решил зада­чу на построение касательной к такой сложной кривой, как спи­раль (применяя при этом предельные переходы), но и сумел найти максимум функции f (х)=х² (а — х).

Эпизодически понятие касательной (которое, как вы знаете,

связано с понятием производной) встречалось в работах итальян­ского математика Н. Тартальи (ок. 1500—1557) — здесь ка­сательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность поле­та снаряда. И. Кеплер рассматривал касательную в ходе реше­ния задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В XVII в. на основе учения Г. Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения, примененные к разным задачам, встречают­ся уже у Р. Декарта, французского математика Роберва- ля (1602—1675), английского ученого Д. Грегори (1638— 1675), в работах И. Барроу (1630—1677) и, наконец, И. Нью­тона.

К рассмотрению касательной и нормали (так называется пря­мая, перпендикулярная касательной и проведенная в точке каса­ния) Декарт пришел в ходе изучения оптических свойств линз. С помощью методов аналитической геометрии и изобретенного им метода неопределенных коэффициентов он сумел решить за­дачи о построении нормалей к ряду кривых, в том числе эллипсу.

В 1629 г. П. Ферма предложил правила нахождения экстрему­мов многочленов. Существенно подчеркнуть, что фактически при выводе этих правил Ферма активно применял предельные пере­ходы, располагая простейшим дифференциальным условием мак­симума и минимума.

Ферма сыграл выдающуюся роль в развитии математики. Его имя заслуженно носит не только известная вам теорема из анализа. Великая теорема Ферма («Уравнение х^п + у^п = zⁿ не имеет решений в натуральных числах при натуральном п, большем двух»), не доказанная, правда, и поныне, лишь один из итогов его размышлений над проблемами теории чисел. Ферма один из

2 -.. mv о_2_ 2

»> ^з"⁺;<(т) • r)(-L)^io'>64^:

473. а) ‘>2,5; б) 2²'~'+2²'-²+2²*~³<448;

40. S7 Понятие об обратной функции

1. Обратимость функций. В ходе исследования различных функций вы неоднократно решали такую задачу: вычислить зна­чение функции f по данному значению лсо аргумента. Часто приходится рассматривать и обратную задачу: найти значения ар­гумента, при которых функция f принимает данное значение уо. О П р и м е р 1. Пусть f (x) = kx-\-b (k=£0). Чтобы найти значе­ния аргумента х, при которых f{x) = yo, надо решить уравнение f {х)⁼уо, т. е. уравнение kx-\-b=yo. Решая его, находим, что при любом уо оно имеет и притом только одно решение

Уо — Ь

9. 1) а) Укажите все корни уравнения log_a x=b (а>0, аф 1).

б) Решите неравенство loga*> log_ac (рассмотрите два случая: 0<a< 1, а> 1).

2) Решите уравнение:

а) log₂ (х— 15) = 4; б) lg² х-\-2 lg х = 8;

в) In² (д: — 2) = 4; г) lg(*²— 2х — 4) = lgll.

3) Решите неравенство:

а) log₀,6*>2; б) lg — 2; в) 1пл:^— 3; г) log7X<l.

10. 1) Запишите формулу производной для функции у = е^х, у = а^х.

2) Найдите производную функции:

а) у(лс) = 5 — 2е^4-3х; б) и(х) = 3*5^7лг_|;

в) g(x) = e~^3x; г) /(*)=(^_)

28. Найдите сумму 20 членов арифметической прогрессии, если

первый ее член равен 2, а седьмой равен 20.

253. в) 3. 264. г) 0. 255. г) у = Зх+1, у~12х— 17. 256. в) у = 2, у= Н—j —х.

257. в) (-1; -1), (О; 2), (1; -1). 258. г) ^ +2ял; +2яп-1,

(—j +2я п; У2^2ял + 1 —^ ²⁵⁹

. a) arctg 3 в точке (0; 0), я —arctg 6

[1] a 14- cos a /. \

[2] Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если:

Ю

[3] tg^f, ^s*ⁿ(^—if)» ^cos ctg 0,9л.

13. Найдите числовое значение выражения:

v о. л 2л, 4л. 7л

а) 8sm — cos — tg — ctg—;

[4]1<х₂<-|- следует, что 0 <

[5] Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчаю­щими исследование, т. е. является ли функция /: а) четной или нечетной; б) периодической.

[6] 3 arcsin у—M arccos (— — arcctg (—УЗ);

в) arctg — л/3)-Ьarccos(—-y) + arcsin 1;

r) arcsin (— 1)—~ arccos —\-3 arctg^ —.

132. Докажите, что для любых чисел х\ и Х2 из промежутка [—1; 1] из неравенства х\<,хг следует неравенство:

a) arcsin х\ < arcsin Хг; б) arccos х\ > arccos ЛГ2.

133. Докажите, что для любых чисел х\ и х% из неравенства Xi<.X2 следует неравенство:

a) arctg ЛГ|< arctg х₂; б) arcctg х\ > arcctg х₂.

Л л - -\/3

r) cos— cos x —sin X sin—<—-7-.

О о 2

161. a) ctgx^V3; 6) V3 ctg(-J—2*)>1;

[8] Найдите значение выражения:

[9] / | Ах \

COS

Ах V ¹ 2) '

247. При каких значениях m функция f непрерывна на всей число­вой прямой, если:

А'² — Зх

Найдите точки графика функции f, в которых касательная

' 1

это

ки----- и — в примере 1).

д/3 д/3

Мы примем этот факт без дока­зательства.

Замечание 2. Для реше­ния неравенств f'{х)>0 и /'(*)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дар- бу): точки, в которых производная равна 0 или не существует, разби­вают область определения функ­ции f на промежутки, в каждом из которых /' сохраняет постоянный

Найдите промежутки возрастания и убывания и постройте графики функций (283—284).

283. а) /(х)=л:³ + Зх² — 9х+1; б) /(*)=4х³ —1,5*⁴; в) /(*) = 2-}-9х + Зх² —х³; г) f(x) = x⁴ — 2*².

284. а) / (х) = 2 — _0[5^1_ f; ^б) /(*)=!* — 31 —2;

в) f (*) = 8*² — *⁴; г) f(x)=| —11.

285. Докажите, что функция / возрастает на /?, а функция g убы­вает на R:

[17]

^а) / (*) = 3*-f-cos 2*; б) g (*)=—г—*;

О

[19] При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.

О Пример 4. Пусть вдоль стержня — отрезка [а; 6] оси Ох — распределена масса плотностью р (х), где р (х) — непрерывная функция. Покажем, что:

[20] ⁷ =V7; 2* =У^⁵=У32; а'^^МсГ¹.

Пример 2. Найдем значения числовых выражений 8³,

81 \ 128~^т.

Решите уравнения (468—470).

468. а) З^х+| — 2*З^х-2 = 75; б) —(-g-)**' ⁼⁴«^8;

^{в) 5}*(тУ ³+(т)^{Х+1 = 162; г)} 5-9^х + 9^х~² = 406.

469. а) 2^Х-2 = 3^Х_2; б)

в) 5^Х+1=8^Х+1; г) 7^х~² = А²-^х.

470. а) З^х + З^3_х= 12; б) 4^^+16= 10-2^^т; в) (у-)'~*-(^-)* = 4,96; г) 4^х—0,25^х-2 = 15.

471. Решите систему уравнений:

Г 5*+»= 125,,, / х+</=5,

а) { _A<x-y?-i _{= l}. б) { 4^х+ 4^ = 80;

_v { З^х + З^у = 12,, { 4^Х+У= 128,

^в) \ 6^x+i/ = 216; ^Г' I 5^3х-2г/-3=1.

Решите неравенства (472—474).

Ш

2х — 3 у * \ 2х _

; б) (±) <(т/5)

[22] Прогрессии

[23] 2. Тождественные преобразования 4. Преобразования алгебраических выражений

41. Разложите на множители:

a) a² + b² -\-2а — 2b — 2аЬ\ б) х³-{-(у — 1) х-\-у\

[24] tg 20°—4 sin 20° sin 50°= —2 sin 20°;

[25] тт 4 рлс 2 v

233. в) ----- j-. 234. г) 0; -1. 235. г) —£ +2яя, n£Z. 237. б) _2о—.

239. г) ±-^+яп, ^ +ял;)» «6^- 240. в) Например, f (х)= —sin х.

[27] cos"’ х 2 sin' 2х

[-2; —1), [2; оо). 246. г) (-оо; — 3]U(— 1; 1)UP; оо). 247. г) т>0. 248. г) (-2;

241. г) Да, да. 242. в) Л; г) (—оо; 2), (2; оо). 248. в) 0,7. Указание.

Проверьте, что f(0,8)<0, f(0,6)>0. 244. г) (—оо; 1), (2; 6). 245. в) (— оо; —4),

-1), (1; 2). 249. в) (— 2; 0), (0; 3); г) (— оо; —51 [2; оо). 260. в) (- оо; -4]U[0; 4}

в точках (—-\/3; 0) и (V3; 0); г) в точках +2яя; 0^, ^ в точках (—£ +2пп; 0^, n€Z. 260. a) -j; г) ^. 261. в) 24,52,-0,16; г) 40,52, 9,86.