И, чтобы прийти вовремя в пункт назначения, увеличил скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда

200. После встречи двух теплоходов один из них пошел на юг, а другой — на запад. Через 2 ч после встречи расстоя­ние между ними было 60 км. Найдите скорость каждого теплохода, если известно, что скорость одного из них на 6 км/ч больше скорости другого.

201. Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Одно тело прошло в пер­вую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движение спустя

5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?

202. На строительстве железнодорожной магистрали бригада строителей за несколько дней должна была по плану пере­местить 2160 м³ грунта. В течение первых трех дней брига­да ежедневно выполняла установленную норму, а затем каж­дый день перевыполняла норму на 80 м³, поэтому уже за день до срока бригада переместила 2320 м³ грунта. Какова по плану дневная норма бригады?

203. Две бригады комсомольцев, работая совместно, закончили посадку деревьев на учебно-опытном участке за 4 дня. Сколь­ко дней потребовалось бы на выполнение этой работы каждой бригаде отдельно, если одна из бригад могла бы закончить посадку деревьев на 6 дней раньше другой?

204. Для перевозки 60 т груза затребовали некоторое количество машин. В связи с тем что ^;на 'каждую машину погрузили на 0,5 т меньше запланированного, дополнительно было затре бовано еще 4 машины. Сколько ’машин было запланировано первоначально?

206. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содер жит 5 кг чистой меди, а второй кусок — 4 кг. Сколько про­центов меди содержит первый кусок латуни, если второй со­держит меди на 15% больше первого?

206. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, (после чего ‘массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была в нем массовая доля соли?

207. Две автомашины выехали одновременно из одного пункта в одном и том же направлении. Одна машина движется со ско­ростью 50 км/ч, другая — 40 км/ч. Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выехала третья машина, которая обогнала первую машину на 1 ч 30 мин позже, чем вторую. Найдите скорость третьей машины.

208. Найдите скорость и длину поезда, зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы проехать с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м.

209. Из пунктов Л и Б, расположенных на расстоянии 50 км, одно­временно навстречу друг другу вышли два пешехода. Через 5 ч они встретились. После встречи пешеход, идущий из А в В, уменьшил скорость на 1 км/ч, а второй увеличил скорость на 1 км/ч. Первый пешеход прибыл в В на 2 ч рань­ше, чем второй в А. Найдите первоначальную скорость каждого пешехода.

210. На заводе для изготовления одного электродвигателя типа А расходуется 2 кг меди и 1 кг свинца, на изготовление одного электродвигателя типа В — 3 кг меди и 2 кг свинца. Сколькб электродвигателей каждого типа было изготовлено, если всего израсходовали 130 кг меди и 80 кг свинца?

211. Двое рабочих совместно могут выполнить плановое задание за 12 дней. Если половину задания будет выпол­нять один рабочий, а затем вторую половину — другой, то все задание будет выполнено за 25 дней. За сколько дней может выполнить задание каждый рабочий?

212. Из двух жидкостей, плотность которых соответственно 1,2 г/см³ и 1,6 г/см³, составлена смесь массой 60 г. Сколько граммов каждой жидкости в смеси и какова плот­ность смеси, если ее 8 см³ имеют такую же массу, как масса всей менее тяжелой из смешанных жидкостей?

213. Вычислите массу и массовую долю (в процентах) серебра в сплаве с медью, зная, что.сплавив его с 3 кг чистого сереб­ра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его

с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получают сплав с 84%-ной массовой долей серебра.

214. По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный обо­рот на 5 с скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту. Найдите скорость каждой точки.

215. Сумма квадратов цифр положительного двузначного числа равна 13. Если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найдите это число.

216. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.

§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ, ПЕРВООБРАЗНАЯ, ИНТЕГРАЛ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

21. Производная

217. Найдите отношение ~ для функции f, если:

^а) /(*) — ir*²’ *о=1, Дл: = 0,1;

б) f (x)=-yjx— 1, *о = 2. Ал: = 0,21;

^в) f(^x)~3 —2л:, лго = 2, Дл: = 0,2;

^г) /(*)=~у,л:₀=1, Дх = 0,1.

218. Пользуясь определением, найдите производную функции f в точке л:о, если:

^а) f (х)=\ —4х, х₀ = 3; б) f (х)= 1,5л;², Хо = 2;

^в) f (*) = Зх + 2, х₀ = 5; ^г) f (х) = х³+1, х₀= — 1.

Найдите производные функций (219—222).

219. a) f (jc)=i-jc⁴—1-л:³ + -1-л:²—л: + 5;

б) [(х)=(4 — л:²) sin лг;

^в) f{x)-(x² + 5)(x³ — 2x-\-2);

_ч г / \ COS X

^r> /М=w-

220. а) /(_Л) = |—^ + _б) / (*)—(2—\Jx) lg х\

в) f(x) = 4=g-; г) 1(х)

1 — 2х ’ / / v / j — 2 cos х '

3*

221. a) f{x) = 2^X + Igx; б) f(x) = e -f- 2 log₃ 2л:;

ь x

Рис. 153

6) f(_x)=4Y+?+

(2x— l)³ *

Г) f(x)=\g(3*) —3tg(2x—J-).

223. Решите уравнение f' (x) — 0, если:

a) / (x) = x⁴ — 2jc² + 1; 6) / [x)= 1,5 sin 2a:—5 sin x—x\

в) f (x)— ——9x\ r) f (jc) = x + cos 2a:.

О О

224. Функция задана графиком (рис. 153).

1) Укажите, в каких из отмеченных точек:

а) Г (*)> 0; б) f'(х)< 0; в) f'(х) = 0.

2) Укажите промежутки, на которых:

a) f'(х)> 0; б) /'(*)<0; в) /'(*) = 0.

3) В каких точках интервала (а; Ь) функция / не имеет произ­водной?

Сравните значения производной в заданных точках (225, 226).

225. а) ЛГ| и х₂\ б) xi и х₃; в) х₂ и х₄; г) хз и xs (рис. 154).

226. а) х\ и хч\ б) х₃ и х$\ в) х₄ и х$\ г) х₂ и х₄ (рис. 155).

227. Функции и, v, w дифференцируемы в точке х. Докажите, что (uvw)' = u'vw-\-uv'w + uvw'.

22. Применение производной к исследованию функций

228. Вычислите приближенное значение функции в точках х\ и х₂:

^а) / (■*) — *1 = 2,0057, х₂ = 1,979;

б) f(x)=2 + 4х-х²-Ь-^-х⁴, Х\ =3,005; х₂=1,98.

229. Вычислите приближенное значение выражения:

a) V^009; б) 1,0001^,5; в) 0,999“⁵; г) У8ДЮ8.

Найдите промежутки возрастания и убывания, точки макси­мума и минимума функций (230, 231).

230. a) f(x)=—L*? + 4x²-7x+lS; б)

в) f(x)=^x-^f^-, г) /W=—.

231. а) / (х) — cos 2х — 2 cos х; б) f {х) = 2 —sin—;

в) / (х) = 2 sin x-fcos 2х; г) f (х) = Зх —cos Зх.

Исследуйте функцию и постройте ее график (232—234).

232. a) f (х)=х² (x-2f; б)

В) /(х) = х³ —Зх² —9х; г) f(x)=_T~_T.

а) / (х)= 1 — 2 sin 2х; б) / (х) = cos² х — cos х:

в) f (х) = 3 —cos-|~; г) f(x) — sin² х —sin х.

234. a) /(x)=V*ln*; б) /(*)=-£-;

в) f (х) — 2^~*^х\ г) / (х) = х— In х.

236. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / (ес­ли они существуют) на данном промежутке:

а) / (*)=18*²+8*³-3*⁴, [1; 3J

б) f(x)=2 cos x—cos 2x, [0; л];

В) f (x)=j-+x², [-Ь 1 ]; r) f (x)=sin x—x, [—л; я].

236. Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма кубов этих чисел была: а) наи­большей; б) наименьшей.

237. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см. Какой длины должны быть катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

238. Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см. Най­дите наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.

239. По двум улицам движутся к перекрестку две машины с по­стоянными скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Считая, что улицы прямолинейные и пересекаются под прямым углом, а также зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстоянии 2 км и 3 км (соот­ветственно), определите, через какое время расстояние меж­ду ними станет наименьшим.

240. Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее ниж­ний край на 1,8 м выше глаз наблюдателя. На каком рас­стоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим)?

241. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уров­ня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

242. Из всех цилиндров, имеющих объем 16л м³, найдите цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности.

243. Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

244. В конус, радиус основания которого R и высота Я, требу­ется вписать цилиндр, имеющий наибольшую площадь пол­ной поверхности. Найдите радиус цилиндра.

245. Около данного цилиндра нужно описать конус наименьшего объема (плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают). Как это сделать?

246. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом R.

247. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиусом R так, чтобы центр основания конуса лежал в центре шара.

248. Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием b и высотой h. Прочность балки пропорциональна bh². При каких значениях b и h прочность будет наибольшей?

249. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукру­гом. Как определить размеры окна, имеющего наибольшую площадь при заданном периметре?

250. На окружности дана точка А. Провести хорду ВС парал­лельно касательной в точке А так, чтобы площадь треуголь­ника АВС была наибольшей.

251. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?

252. На параболе у=х² найдите точку, расстояние от которой до точки А (2; 0,5) наименьшее.

253. Объем правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?

23. Применения производной в физике и геометрии

254. По прямой движутся две точки. Определите промежуток вре­мени, в течение которого скорость первой точки была меньше

скорости второй, если: а) х\ (/) = 2-|- /³, x₂(t) = 2t — 3;

б) *i (/)=9/²+1, Х2 (/) = /³.

255. Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени по закону ф(/)=0,Н²— 0,5/ + 0,2. Найдите угло­вую скорость вращения тела в момент времени / = 20 с. (Угол измеряется в радианах.)

256. Круглый металлический диск расширяется при нагревании так, что его радиус равномерно увеличивается на 0,01 см/с. С какой скоростью увеличивается площадь диска в тот момент, когда его радиус равен 2 см?

257. Из пункта А по двум прямым, угол между которыми 60°, одновременно начали двигаться два тела. Первое движется равномерно со скоростью 5 км/ч, второе — по закону s (t) = 2t —t. С какой скоростью они удаляются друг от друга в момент t = 3 ч? (s измеряется в километрах, t — в часах.)

258. Концы отрезка АВ длиной 5 м скользят по координатным осям. Скорость перемещения конца А равна 2 м/с. Какова величина скорости перемещения конца В в тот момент, ког­да конец А находится от начала координат на расстоя­нии 3 м?

259. Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью

2 м/с. С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы, с каким ускорением?

260. Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса его части AM растет пропорционально квадрату расстояния точки М от конца А и равна 10 г при AM = 2 см. Найди - те: 1) массу всего стержня АВ и линейную плотность в любой его точке; 2) линейную плотность стержня в точках А и В.

261. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Найдите угловую скорость колеса через 48 с после начала вращения.

262. Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Ответьте на вопросы: а) на какой высоте от поверхности земли оно будет через 5 с? б) Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на каком расстоя­нии от земли (считать £=10 м/с²)?

х²

263. В какой точке параболы у= —-— 1 касательная наклонена

к оси абсцисс под углом: а) 45°; б) 135°?

264. Найдите абсциссы точек графика функции f (х) — х³ х² —

— х—3, касательные в которых наклонены к оси абсцисс под углом 135°.

265. Докажите, что любая касательная к графику функции f (х)=х³+-^-х²-\-х — 3 пересекает ось абсцисс.

266. Докажите, что любая касательная к графику функции f (х)=х⁵-{-2х — 7 составляет с осью абсцисс острый угол.

267. Докажите, что графики функций f (л:) = (х + 2)² и g (х) = 2—х² имеют общую точку и общую касательную, проходящую через эту точку.

24. Первообразная

268. Найдите общий вид первообразных для функции: a) f (х) = 4 sin x-J-cos Зх; б) f (х) = х²-\-х~⁵-\-х²⁺^;

В) fW-2+,4т: г) /_W=_£__+;Ea_.

269. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М:

а) /(*)=-§-. 2):

^б) f (*)=x~² + cos ^(^Г’ ——)»

^в) f(x) — x~^A, М (2; —3);

г) f (х) = sin 2х, Л* (0; 1).

270. Найдите функцию, производная которой равна 2х — 3 в лю­бой точке х и значение которой в точке 2 равно 2.

271. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А (2; 3), если угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х равен За:².

272. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v (t)=sm t cos t. Найдите уравнение движения

точки, если при t=-j- ее координата равна 3.

25. Интеграл

273. Вычислите:

Зл

a) J cos(1,5л +0,5*)dx\ б) \{х ²-)-x?)dx\

— 2