Г) . 121. г) — • 122- в) -7г '• г) 0.124. в) Нет; г) да. 125. б) Нет. 126. г) —^. 4 4 о о

127. в); г) 128. в) —^; г) -j 129. в) Первое меньше. 130. в) 0,8948;

0, 5010.131. г) ——. 132. б) Введем обозначения а = arccos xt, Р = arccos х₂- Пред­положим, что а<р. Так как аир принадлежат промежутку [0; я], где косинус убывает, получим cosa^cosf), т. е. xi^x₂, что противоречит условию. 133.

Б) Указание. Используйте прием, описанный в решении упражнения 132 (б).

136. в) ±4+2яп, n£Z. 138. г) —£+2яп, n£Z. 139. г) (-iy^+l •-? +пя. О Z 4

n£Z. 141. в) -f -лп. 142. в) (— 1)"*^ + 4лл, n£Z. 143. в) ±arccos 0,3+2яя,

О о

n£Z. 146. г) —^ +4ял, n£Z. 146. г) +“3“ • *^{47, г}) (^—+

+^+Злл. n£Z. 148. в) ±4 +^м' 0 *(4 +^п;\),пег.Ш.г)-Щ,

°' т’ ~т '^5,-=>(т-т) ^1И-°>Н^;т)

154. г) ^ ^ + 2яя; —^ +2яя^, n£Z. 155. в) £—^ +2яя; + 2яя^ n£Z. 156. г) ^^ +яя; —^-+я/1^, n£Z. 159. в) (4яп; л + 4ля), n£Z.

160. г) + 2лп; ^ + 2лл), n£Z. 161. г) (—| + 2лл; я + 2лл), n£Z.

Л. 1.2 лп 1. 2, лл\....Г я я!

1 ₆₂. г) ^__T+_Tarcsm—+-g;-_тarcsin—+_TJ,n6Z. 163. в) ^J.

164. г) (— 1)"-arcsin — + лп, n£Z. 165. г) 2яя, ±arccos-4- +2яя, n£Z.

4 5

166. г) л+2ля, n£Z. 167. в) xi+лп, дв+яп, Xi = — arctg 2«—1,1071,

jc₂ = arctg «0,4636, n£Z. 168. г) лп, n£Z. 169. в) +яя, arctg 3,5 + лл,

2 о 4

nez. 171. г) ±-j + лп, n£Z. 172. в) (_ iy.-L arcsin-I, n£Z. 173. в) (- 1У + ¹ neZ. 174. в) ^, -5-+^; k, п £Z. 175. г) (у-™; ™).

n£Z. 176. в) ^-^- + 2лk\ -^- + ял^, n£Z, k£Z.

177. б) 3) 1,2881; 4) nh(2R + h). 178. г) 0,205. 179. г) Д*=0,125, Д/=0,1.

Ajc

180. г) —-—:. 181. в) 65 км/ч. 182. г) На 4 в отрицательном направлении,

Хо (^о^[25]1 Аде) д р

i/_cp=—2. 184. в) 1,5, острый. 185. в) 6 (2х+ Ал:)Дх. 186. г) д^⁼

°((x,+L)4ouS+ir ^,87' ^в) ^р=1^(2,«+^л')' ¹⁸⁸• ^в> ^м,,нус- ^ллюс; ^шшус’

Плюс. 191. б) 2,5; 2,1; 2,01. 192. г) -2, -4. 193. г) 5, -2. 194. в), -1

195. г) у=4х—4. 196. в) 2; г) 5. 197. в) Непрерывна в точках х\, хь не

является непрерывной в точке хз. 200. в) 5, 4. 201. в) 6. 202. г) 0,25. 204. /1=0,04 дм.

I 34

206. h«0,01 дм. 208. г) 3*4 209. г) -8*^[26] + 9х ^[27] + 2. 210. в)

2 -\/х (5*+8)

211. в) 7х^[28] —20х^[29] + 2; г) х—9х~\ 212. в) 1,5; 4. 213. в) 4; -1. 214. г) (- оо; -2),

Оо). 215. в). 216. в) -1. 217. г) (-оо; 3), (3; оо).

218. г) Например, Злг^[30]—j х. 219. а) Нет. 220. г) / (лс)=Зле Н—, g(x) = cosx. 221. в) /(х)=2х+1. g(x)=x^[31]. 222. в) [—0,5; 0,5]. 223. г) [2ял; я + 2я п\ n£Z

224. г) ——ЁР..^. 225. г) 65 (5*-2)^[32] + 24 (4ж+7Г ⁷ 226. в) ^ +2яя;

5+2ял1, я£Z. 227. a) 3-2.V²; в) (3-2xf. 228. б) ------. [0; 1)U(1-. «О;

⁶ J -фс— 1

в) л/cos х, £—^ +2ли; +2яп J, n£Z. 229. б) f (х)=х², D (f)=[0; оо); г) f (*)—

=—\/х— 1. 230. г) — 15ДС² (3—дс³)⁴+ * 232. г) 2 cos х— 1,5 sin х.

У/2х — 7

263. г) 2,0004 264. г) 0,9302. 265. в) 0,526. 266. в) 0,1247. 267. а) (—/² + 4/ + 5) м/с;

в) 5 с 268. 35 м/с; 22 м/с² 269. (6/—4) рад/с, 20 рад/с. 270. а) 2,8 рад/с.

271. 12f см/с, а) с; б) -1 с. 272. а) 6 с; б) 18 м/с. 274. 22 т. 275. а) 0,04 Я; 12 6

б) 0,0025 Дж. 276. а) 65 г/см; б) 125 г/см. 277. 0</<2—

8/² —9/ + 21

, - при />0. 280. г) Возрастает на (—оо, —31, ГЗ; оо); убывает

-\/4Р—-6/ + 21

на [—3; 3]. 281. в) Возрастает на (— оо; —2], [2; оо), убывает на [—2; 2} 283. г) График функции изображен на рисунке 6. 284. в) График функции изображен на рисунке 7. 286. г) f (х) = — 3х² + 6х=3х (2 — х), f' (х)<0 при всех х из промежутков (— оо; 0) и (2; оо), следовательно, f убывает на [—2; 0] и [2; 3], f —2)>0, / (0)<0, f (2)>0, / (3)<0, потеоремео корне уравнение имеет единствен­ное решение на каждом из промежутков [ — 2; 0], [2; 3]. 287. б) х₂, х₄, х₅, Хб, х₇ л

278.

288. в) ±-д- +2 пп, n£Z\ г)

— 2- 290. в) x_max 1, x^jf, 0, г) x_mj_n—±1.

*тах = °- 291. а) /'(х)=_1_; 1'(х)ф0 ни

2 ух

при каких х; /'(х) не существует при х = 0, но эта точка не является внутренней для про­межутка [0; оо). 292. в) (—1)^п+1 *4г-+ ля.

0;

n£Z\ г) ±—. 293. в) ±3; г)

л/з

295. г) График функции изображен на ри­сунке 8. 297. г) График функции изображен на рисунке 9. 298. г) Возрастает на (—оо; —1], [5; оо), убывает на [—1; 5]. 300. в) D (f)=E (f)=R; f — нечетная; / (х) = 0

/(х)> 0.

^г6 (-Vi- °)- (Vi^{; 00})^{; f м<0}-

Рис. 10

х £ ^ — о©; —, х £ ^ 0; • f возрастает на (— оо; — 2\ [2; оо);

	f убывает иа [—2; 2]; х,

54

= х²+—. Найдем наименьшее значение функции S(jc)=x² + — на промежут- 54

ке СО; с»), S'(x)—2x —^, х=3 —критическая точка. Функция убывает на

(0; 3], возрастает на [3; оо). Следовательно, min S (х)= S (3)=27. 318. 30 см,

(0;»)

20 см. 319. 20-\/2 см, 20 д/2 см. 320. В точку, удаленную на 3 км от населенного пункта и на 12 км от точки шоссе, ближайшей к буровой вышке. 321. К точке отрезка АВ, удаленной от В на 1 км. 322. —0,5. 324. Квадрат.

Глава III

327. г) Нет. 329. в) Например, — 4х. 331. в) Нет. 332. в) Например, х. 334. г) f (х) = 3— 2 sin х. 336. в) х + ^-+С. 337. г) — cosx— 2. 339. в)

оХ

— cos+ — 2- 341. г) *(/)= — cos /. 343. г) — sin^-^- —^ ^ + С. 344.

+ С. 345. г) --i-₂-2x⁵ + 3x+4,5. 346. в) tg (3jc+1)—

3(3*— 1) ¹ *' 2*^{2 1} 3

—3 cos (4 —ж)+х² + С 347. г) _^-+-| *²—4-^. 348. х(/)=4- t³ + t²-t. 349.

x(/)=4sin -L +2. 350. х (t)= t* + 2/² + 2/ + 7. 351. r) x (0=4- t³ + t² + t— 1-|-

2 о о

352. в) —2; второй. 353. в) 2; г) -i-. 354. в) 10-|-; г) я + 1. 355. в) 1-|-.

2 о о

г) -J-. 356. в) V3—357. г) 1. 358. в) 0,9. 360. г) Ю-f-. 361. г) 5-1.

4 и о О

362. г) 4. 363. в) ^+4-. 364. г) V3--?-- 365. г) 4,5. 366. г). 367. 5-^ •

lZ 4 О о

368. 4,5. 369. а) Пусть F(х)— первообразная для f (х), G (х) — первообразная для

f(x)+g(x). Поэтому \(f(x)+g(x))dx=

=(F(x)+G (x))| =F (&)+ G ( b)-F(a)- G(a )=

=F(b)-F(a)+G(b)-G(a)=\f (x)dx+ Рис. 14

a

b ₂ +\g(x)dx. 370. r) 371. r) ^. 372. а) Щ-(3R-H); 6) ^(R² + Rr + r²).

373. 0,16 Дж. 374. 0,16 Дж. 876. yq( - —J. Указание. F(x)=—, где

\ b af x

K

yQ \ I (o + 2b) h.²

— 1 dx=— j. 376. p g

a °

(в упражнениях 376—378 p — плотность воды, g — ускорение свободного па­дения). Указание. Сила давления жидкости на погруженную в нее пластинку

й,

(вертикальную) вычисляется по формуле P=pg) S (x)dx, где S(x) — площадь

Л.

пластинки, глубина погружения Л меняется от hi до Л₂. 377. ^ЛГ 378. -г- nR*pg. 379. —=4 160 ООО п² эрг. Решение. Масса части стержня,

О 6

отмеченная на рисунке 14, равна pSAx; пренебрегаем диаметром стержня (счита­ем отмеченную часть отрезком длиной Ах), тогда с точностью до величин по­рядка Ах линейная скорость каждой точки этой части равна юх. Обозначим через Е (х) кинетическую энергию части [0; х] стержня. Приращение кинетической

_r. tnv² pSw²x²Ax энергии за счет отрезка [х; х + Дх| приблизительно равно -у. т. е. -—^------------------------------------------------------------ •

oSo)²x²

поэтому £'(х)=—^—; Е (0)=0, и, следовательно, искомая энергия есть г//\ С с/ / \ j С pSco²x²dx ₂f х² pSco²/³

Е ([)=\ Е'(х) dx=\ -— ^=pSco V — dx = -—-—. 380. Точка высоты кону-

0 0 о

са, находящаяся на расстоянии — высоты, считая от его вершины.

Глава IV

384. в) —| 386. в) ±2. 387. г) ±-у[\7. 388. г) —1. 391. в) 6. 392. г) —5.

393. г) 2. 394. в). 395. г) 1,44. 396. г) 2,22. 397. в) 1,29. 399. в), г) Первое

меньше. 400. в), г) Первое больше. 401. в) Первое больше. 402. в) a³b \j6b² 403. г) У4а³6³. 404. в) а> 0; г) а^0. 405. а) а=0; б) а<10; г) при всех а.

406. r) 407. г) 3(5". 408. г) ЬЩ. 409. г) 'V320- 410. г) б⁶.

О о 2.

411. г) (-оо; Щ 412. г) [0; 81} 414. в) 0. 415. г) 2. 416. в) № + Щ_ _ш

417. в) ±6. 418. г) 8. 419. г) 0, —1. 420. в) -10; 2. 421. в) (16; 81). 422. г) 0; 0,4. 424. г) —12. 425. г) ±2. 426. в) (16; 4),(36; 1-^. 427. г) (27; 1),

- 1 оя — — —

(— 1; - 27). 428. г) V^³- 429. в) Ь ^|3. 430. в) 32. 431. в) -Щ -. 432. г) х ² (3² — 5 ²)•

! JL 1 2. 1

433. г) (а² +Ь ²) (а ² + 1). 434. г) а³ + Ь³. 435. г) х—\. 436. г) Первое меньше.

437. г) 10. 438. г). 440. г) ²\[b^rc^s. 441. в) Равны. 442. г) Нет. 443. в) (0; оо).

у2т

444. в) а=±1- г) а = 0. 446. г) (— 2; оо). 447. г) Первое меньше. 448. г) 9. 450. г) |д;^я-(/^п|. 451. в) 169,8; 173,8. 452. 10^«172,4. 453. г) _y=(3—^j7)^x —

/ 1 V 2

убывает, у=[ -- —) — возрастает. 454. г) [1; оо). 455. г) — 1; — 1—. 457. в) 0;

\3_д/7/ 3

г) 1.Указание. С помощью эскизов графиков «угадываем» абсциссу точки пере­сечения х=\, остается доказать, что других точек пересечения нет. Для этого воспользуемся свойствами соответствующих показательной и линейной функций. При х> 1 функция у = 4^х принимает значения, большие 4, а функция у = 5 — х — меньшие 4. (При функции принимают соответственно значения— меньшие

и большие 4.) Следовательно, других точек пересечения графики не имеют.

458. г) -1.461. в) 4; г) -1. 462. в) 4; г) -3; 1.463. в) 3; г) —1.464. в) 1; г) 1*. 0.

465. в) (-2; -3); г) (-1; 4). 466. в) [2; оо); г) (-оо; 2). 467. в) (-оо; 0,5); г) (—1; оо). 468. в) —2; г) 2. 469. в) —1; г) 2. 470. в) 2; г) 2. 471. в) (1; 2), (2; 1); г) (2; 1,5). 472. в) [-3; -1]; г) (-оо; --|), (4; оо). 473. в) (-2; оо); г) (—оо; 1). 474. в) (2; оо); г) [—1; оо). 475. в) (— оо; 0]; г) [1; оо). 484. г) ^.

485. г) 8. 486. г) 3. 487. г) logs 5, logs logs 1, logs 125. 489. г). 490. г) ^.

О 2

491. г) 2 log₃6 —3 — 7 log₃ а. 493. г) lg с— 7—^ lg а — 8 lg b. 494. г) 1 +а + 6.

4 о

tTC’fl ³

496. в) —2. 497. в) -- ₁—. 498. в) Решение. Рассмотрим разность между

Р⁴

выражениями, содержащимися в левой и правой частях неравенства, сравним ее с

I?.* о logl 7 —2 log₃ 7+1 (1— log₃ 7)² нулем: log₃ 7+₁ 5— 2=—- _;—^Б₀ >0. г) Решение.

10g7 О <Og7 3 >Og7 О

Преобразуем левую часть равенства: 3^l0g2⁵_(5^l0i«³y⁰g*⁵_5^,0g«³-^|0i2⁵_

*°g2³ io_{E 5}

=5^log25 =5^log23. 499. г) (- 00; — 4)U(4; 00 ). 500. в) (----------- 1; 2-i j.

Б02. в), г) Первое меньше. 503. в), г) Первое больше. 505. в) (—^ +2лл; 308

123456769 ‘ X

Рис. 15

+2ла J, n£Z. 506. в), г) 0. 507. г) График функции изображен на рисунке 15.

508. г) л^-2. 509. в) 5. 510. г) Нет. 511. в) 0; —1. 512. в) log₂ 10. 513. г) 100.