D — делитель ab, поэтому существует общий делитель d' либо у чисел a, d,либо у чисел b, d\ пусть для определенности d' — делитель а и d, тогда а 4- b

делится на d', следовательно, b делится на d', значит, дробь сократима на d'.

13.в) 1 14. а) Пусть -\/5=— p£Z, q£N, —— несократимая дробь, — >0,

Я

поэтому можно считать, что р и q —натуральные числа. Тогда 5 = jp-iT. е.

р² = 5<?², откуда следует, что р², следовательно, и р делятся на 5, т. е. р = 5Л. Подставляя p=5k в равенство p² = 5q², получим 25fc²=5 д², q²=5k². Из послед­него равенства видно, что q делится на 5. Получили противоречие со сделанным

предположением; оказалось, что дробь сократима на 5; в) если -\/5+1 = /'

(где г рационально), тогда _Л/5=г—1 рационально, что противоречит иррацио­нальности У5- 19. а) Равны; в) первое меньше; г) первое больше. 31. 87 или 69.

310

32. 0. 34. Ь_л =0,2; <7=5. 36. 5. 37. 12,5; 7,5; 4,5; 1,5 или 2; 4; 8; 12. 38. 9 = 1---------------------------------------.

Л/5’

44. г) 2. 45. г) 3. 47. в) 1; г) 1. 48. в) х л[х —

-л/х. 49. г) —\[а—Ць. 50. б) ab*(a* + b*); г)

2д/2 а

.. jna= 5—; cos -=-=

1 + m 3 2

1 7

— ^— cos 2а =—59. а) 0. 60. а) Меньше 0. 61. 1. 62. г) Первое больше.

63. в) Первое больше. 64. а) 4 —. 65. б) 0,34. 66. в) —3; г) 1. 67. б) 4+4 logo.2 Ь —

—ylogo.₂c. 68. б) 14. 69. г) 365,06446. 70. Ig2«0,3010. 71. 2 —А. 73. б) S=

Б2. б) |sin p+cos р|; г) sin р. 53. в) 1. 58. б) \-т—; г) sin

. 77. в) (-оо; —л/5)и(—л/5; -2)U(2; л/5)и(л/5; оо). 80. в) /(х)>0

на^ — оо; и (5; оо), /(х)<0 на^-|-; 5^. 81. г) Убывает на (— 00; 1) и на (1; оо).

85. г) См. рис. 19. 86. а) См. рис. 20. 87. в), г) Да. 88. в) Пусть f (х)=х⁵ + 3х — 5, f(x) непрерывна, при этом f(l)= — 1 с0, f( 2)=33>0. 91. а=3, Ь= —5. 92. в) а> 0, Ьс 0, с>0, D<:0; г) а<0, b<0, с=0, D> 0; д) асТО, Ь< 0, с< 0.

D<0. 93. а) Могут (квадратичная вида у=ах² + Ь и линейная вида у=Ь).

X² х л

94. в) у=~з ——?—г - 96. в) Все числа, кроме чисел вида ±-^-+2ля, n£Z.

х⁴—1 ' х⁴—1

в) £-^- + лл; ^р+лл^, n£Z. 98. г) Г—1; 1]. 99. г) (— 00; — 2](J[2; 00).. в) у >0 на у+4лл; у+4лЬ'<0 на ^у+4лл; у+4лл^, n£Z.

. в) Нечетная; г) четная. 102. г) л. 103. в) Убывает на £-^-+лл; ^+ляJ.

Г Л л, 1

возрастает на I —^- + nn; -^-+ля1.

■*min— д +ЛА2, Х_тах— ^ +ЛЯ, tl£Z.

104. г) min у= 1, шах у не существует. 105. б) Указание. у= |sin х|. 108. Да.

D(y) D (у)

109. в) tg 2< — 1 <ctg 2. 111. в) 0; г) 0. 112. в) (-оо; 0)U[1; 4]. 113. в) (- оо; оо);

г) (2л п: л + 2лл), neZ 114. в) (у; 2^и(2; оо). 115. г) (0; оо). 116. в) [1; оо).

117. в) £/>0 на (—оо; log3 2), у <0 на (log₃ 2; оо). 118. в) у>0 на [0; оо).

119. в) Ни четная, ни нечетная. 120. в) Четная. 123. а) Указание. у=х—\

при х>1, D(y) = ( 1; оо). 124. г) min у=у (1)=0, max у — у( —1)=4.

L-i;ef t— i: ef

125. г) ±3. 126. г) (0; 3). 128. а) 0; —. *33. г) [ji; оо). 134. в) [1; 13];

Я4 I

г) [-1; 5]. 135. г) -3,5 и [3; оо). 137. в) -6; г) 2;. 138. а) 1; 2; — 7-^-;

99 3

В) у; 4; г) 0; -1; 3. 139. а) у; в) у; г) Щ. 140. в) -у; г) -4; у.

141. в) —1; г) 1. 142. в) (-оо; оо); г) (1; 13). 143. г) (— оо; —4)U(6; оо). 144. в) (1; 3) U(3; 5); г) (3; 4). 146. в) 2; г) -4; 4. 147. в) 2; г) 63. 148. в) 4;

г) —у; 0. 149. в) —8; 8; г) — 1; —3. 150. в) (- оо; -тД7]и[л/Т7; оо); г) (9; оо).

151. в) [2; 3}, г) Г—3- 5]. 152. а) — л + 2лп; ±arccos у+ 2лп, n£Z; б) у — 14

——arccos у+лл (или аг^0,5 + лл, n£Z — другая форма ответа); г)

ТГ 1

arctg 0,5 + лл; n£Z. 153. в) ±-77, +ля, n£Z; г) (— l)"arcsin — ■+ ют, nQZ.

¹² V3

154. в) у + л/г, у + у. rt£Z; г) 2ля, 2-(—1)"-arcsm у+2ля, n£Z. 155. в) у,

n£Z\ г) у+у: —^-+^лЛ- ⁿ€^z- ¹⁵⁶- ^в) (—1)"у+лл, n£Z; г) (—1)"у+лл.

n£Z 157. в) (— 1)^{п + 1}-^- + лл, n£Z; г) лл; ±-^- + 2лл, n£Z. 158. а) —б) 0;

6 3 4

», 2-\/з 2; „ ₀. («- + «£, *+«»!). n_tZ; г, [_«+£

у^+у]. n£Z. 160. в) j^y + лл; y + nnjj. n£Z\ г) л + 2лл; —y + 2nnju и^у+2лл; л + 2л/г), n£Z. 161. а) £—^ + 2лл; y + 2nrtj, n£Z\ в) £““у + +ля; л/ij, rt£Z; г) ^л п\ у + лл), n£Z. 162. а) ^у + 2лл; л + 2лл), n£Z;

в) ^у + 2ля; 2л + 2лл), n^Z; г) ^—^-+2ля; у + 2ля) ti^Z. 163. в) 1; 5;

г) 3; 9. 164. в) 2; г) 1. 165. в) 3; г) 0; у. 166. в) ilog^; г) 0; у.

"2

167. б) ±arccos (д/2— 1) + 2ля, n£Z\ г) — 1. 168. в) (— оо; —; г) (— 00; — 4)(J

U(3; оо). 169. в) (1; 3); г) (- 00; — 1]U[0; 00). 170. б) (-5; 3)U(4; 00). 171. в) 6;

1

Ху+лл, n£Z; б) arcsin-j^+2 пп, n£Z. 176. а) (—3

Г) (л/7-у. ¹⁷⁷‘ ^а> ГО: ⁶>- ^г> <^{1; 2}1U[3; 4). 178. в) (2; оо); г); оо)

179. в) ГО; 0,1 ]U [100; оо); г) (-оо. 0]uDog₆5; 1). 180. в) (у; у); г) 0

181. в) (0,4; 0,8); г) (2; 3); (3; 2). 182. в) (0,5; 4); г) (7; 3); (-7; -3). 183. в) П; 2); (2; 1); г) (-1; i-); (-1; у) 185. в) [-3; у); г) (-3,5; 0). 186. в) (25 49); г) (9; 16); (16; 9). 187. в) (16; 4); г) (16; 4); (-4; —16). 188. в) (81; 16);

г) (-1. -8); (-8; -1). 189. а) (у-(- 1)*^ + ™ -у; у + (- D* ^+™ +

+у) k, n£Z; б) (у —у у+у) ’ (у + ^лл + ^лЛ; у+^пя—^лЛ)»

(—^- + лл+лА:; — j+nn — nkj, k, n£Z\ г) (y + y: y+y + ^2ля) k,n£Z.

190. б) (лп; у —ял); ((—lf ^{+ l}y + ля;-^ + (—l/y — ля), л£Z- в) (у + +ля + л£; -^- + ля— лА:), ^—^- + ля + л&; —^-+ля—л&), &6Z. г)

(у+лп, —ля), ^у + 2лп; —2лп), у + 2лл; ^ —2лл) n£Z.

191. а) (2; 1); б) (5; 4); в) (5; 1); г) (3; 0). 192. а) (1; 3); б) (3; 2);

в) (2; 0); г) (2; 6). 193. а) (2; 1); (logs 7; log₇ 9); б) (4; 1). 194. а) (100; 10);

(0,1; 0,01); б) (4; 4); в) (1 000 000; 0,1); г) (i-; l). 195. а) (27; 4);; -з);

б) (2; -1); в) (125; 4); (625; 3); г) (3; 2). 196. а) (4; 2); б) (25; 36); в) О; >) (4; 2); г) (512; 1). 197. 75 км/ч. 198. 4 км/ч. 199. 55 км/ч. 200. 18 км/ч, 24 км/ч 201. 10 с. 202. 240 м³. 203. 6 и 12 дней. 204. 20. 205. 25%. 206. 160 г, 20%

207. 60 км/ч. 208. 21 м/с, 147 м. 209. 6 км/ч, 4 км/ч. 210. 20; 30. 211. 20» 30 дней. 212. 12 г, 48 г, 1,5 г/см³. 213. 3 кг, 80%. 214. 4 м/с, 3 м/с. 215. 32

216. 8 и 3: 28 я 27. 218. в) 3; г) 3. 219. г) ^~^{2) 5}‘" *⁺У ^C°s х

(2-хУ

__ _ч cos х — 2 е^х + е~^х — х (е^х — е~^х) 1п х -. 1

220. г) -—х---- -у. 221. г) —------ ГГТ---Д-—-- • 222. г) ----

(I —2 cos xf' " х(е^х-\-е ^х) ' ’ х In 10

----- 7~~-- \~ ²²³‘ ^г> ⁿ£^z- ²²⁵- ^в> П*2)=Г(.г<);

2 / о ^ 1 12, 2,

cos ^ 2x —J

г) n*₃)<0<r(jt₅). 228. б) 25,375; 9.84. 229. в) 1,005; г) 2 + -^«2,00007. 230.

в) Возрастает на [1; оо), убывает на (—оо; 1], x_mj_n=l; г) возрастает на (—оо; 4) и (4; оо). 231. в) Возрастает на £—^- + 2лп; -^-+2дя^, £~2~~^ +2ля; +, убывает на £-^- + 2л/г; -^- + 2n«J, £^? + 2ля; ^ + 2ля^,

^хта х = у+2л«, Х_тах = ^ + 2ля, х_т!п = -^ + лл, n£Z\ г) возрастает на (—оо; оо).

232. а), б) См. рис. 21. 234. а), б) См. рис. 22. 235. в) max f = f(-^\ =

[т, «]

-7 О 12 3

а)

Рис.. 21

— min f=f(l) = 3; г) max / = /(— л) = л; min f — f(n)=— л.

⁴ [4-.'] „3

236. а) 10 + 0; б) 5 + 5. 237. 10 см, 10 см. 238. 72 см². 239. — ч. 240. 2,4 м

2 R

241. 4^2 м. 242. h = 2r. 243. — ₂45. /?=1.5 ч. 246. 4/? 247. Я = /?_л^г>.

248. & = 4=- ^см» h — 40\l ~ см. 249. И = — ~-г; Н = 250. На расстоя

_ /о V 3 п4-4 я 4

я + 4

^а)

а) б)

Рис. 23

нии 1,5 R от точки касания. 251. 60°. 252. М(1; 1). 253. \[4V. 254. а) ^0:, б) (6; оо). 255. 3,5 рад/с. 256. 0,04л см²/с. 257. 8 км/ч. 258. |и| = 1,5 м/с.

259. — ■ — м/с, —м/с². 260. 1) 360 г; 5л: г/см; 2) 0; 60 г/см.

V25-4/- _л(25 - 4г)

261. Зл рад/с. 262. а) 85 м; б) 4 с, 90 м. 263. а) М{— 1; -1,5); б) Af (1; —1,5).

264. —0. 266. /'(,0 = 5.i-⁴-f 2>0 для любого х. 268. в) 2х + 3 In \х— 1| + С;

I 23 1 з

г) tg 2х — ctg Зх + С. 269. в) — -х-j — 2 -?г;; г) — ^005 2* + —. 270. х² — Зж+4.

Ол /it ^ Z

271. у=х³ — 5. 272. —^ cos 2/ + 3. 273. в) ⁷ ~~³ _{; г}) 39. 274. а) 2; —2;

б) 0,5; -0,5. 275. в) г) 9. 276. 18 и —. 277. 10-^-. 278.. 279. 2; 1. 280..

О оОО О

Решение. Указанная фигура заштрихована на рисунке (рис. 23, а соответствует

а< 2, а рис. 23, б соответствует а >2). При а <2 площадь этой фигуры меньше

площади квадрата ОЛвС, равной 4, а при q^2 S — ^ (х² + 4а' -f- а) с/х—

о

(

л \ I 2 о 20 20

—+ 2x² + axj | ₀ —4=—+ 8 + 2а—4==2а + —. следовательно, 2а+—=12,

82 откуда а——. 281. а = —, Ь = 2.

О IX

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аргумент функции 21 арккосинус 63 арккотангенс 64 арксинус 62 арктангенс 63 асимптота

— вертикальная 50

— горизонтальная 50

— наклонная 50

Бесконечно малая 156 Величина 162

Гармонические колебания 58, 254

— —, амплитуда 58

— —, начальная фаза 58

— —, период 58

— —, частота 58

геометрический смысл производной 126 график функции 22

Десятичное приближение числа 165 дифференциал функции 155 дифференциальное исчисление 155 дифференцирование 104 дробная часть числа 165

Единичная окружность 14

Знаки значений тригонометрических функций 7 значение функции 21

Интеграл 183, 194

— неопределенный 194

— определенный 194 интегральное исчисление 194 интегрирование 184

Касательная к графику функции 99 Кавальери принцип 197 корень квадратный 202

— кубический 202 316

— п-ой степени 201

— — — арифметический 201

— посторонний 207 косеканс 19 косинус 14 котангенс 16

криволинейная трапеция 179 критическая точка функции 143

Линейная плотность 136 линия котангенсов 17

— синусов 15

— тангенсов 17 логарифм 224

— десятичный 226

— натуральный 242

Максимум функции 44 мгновенная скорость 101, 134 метод интервалов 122

— неделимых 195

механический смысл производной 134 минимум функции 44

Наибольшее значение функции 150 наименьшее значение функции 150 неравенство

— логарифмическое 233

— показательное 221

— тригонометрическое 73 нуль функции 48

Область значений функции 21

— определения функции 20 общий вид первообразных 172 объединение множеств 21

основное логарифмическое тождест­во 224

— свойство первообразных 172 основные свойства корней 203

— логарифмов 225 степеней 211

— формулы тригонометрии 7

отображение 26

Первообразная 169

— показательной функции 243

— степенной функции 249

— тригонометрических функций 174 период функции 32

показатель корня 201 правила

— дифференцирования 110

— нахождения наибольшего и наимень­шего значений функции на отрез­ке 150

— нахождения первообразных 176

— предельного перехода 106

— сравнения чисел 165 предел 156

— последовательности 160

— функции 160 предельный переход 106 пределы интегрирования 184 преобразования графиков функции 22 признак

— возрастания функции 139

— максимума функции 144

— минимума функции 145

— убывания функции 139

— постоянства функции 172 приращение

— аргумента 95

— функции 95 производная функции 104 в точке 103

— логарифмической функции 246

— постоянной 103

— сложной функции 116

— степенной функции ИЗ

— тригонометрических функций 118 промежуток возрастания функции 48

— знакопостоянства функции 48

— убывания функции 48

Работа переменной силы 190 радиан 5 радикал 201 разность чисел 165

Секанс 19 синус 14

системы уравнений

— логарифмических 234

— показательных 222

--- тригонометрических 78

синусоида 15

степень числа

— с рациональным показателем 210 с иррациональным показате­лем 216

сумма чисел 165

схема исследования функции 49

Тангенс 16 тангенсоида 19 теорема

— Вейерштрасса 150

— об обратной функции 239

— о корне 62

— Ферма 143 точка максимума 43

— минимума 42

— экстремума 44

Уравнение дифференциальное

— гармонического колебания 255

— показательного роста (убывания) 252

— иррациональное 206

— показательное 221

— касательной к графику функции 127 ускорение 134

Фокус параболы 137 формула

— Лагранжа 129

— объема тела 188

— Ньютона-Лейбница 185

— площади криволинейной трапеции 180

— Тэйлора 159 формулы приведения 7 Функция

— возрастающая 39

— дифференцируемая 103

— дробно-рациональная 21

— логарифмическая 229

— непрерывная в точке 106

— непрерывная на промежутке 121

— нечетная 30

— обратимая 237

— обратная 237

— периодическая 32

— показательная 218

— сложная 116

— степенная 248

— убывающая 39

— целая рациональная 21

— четная 30

— числовая 20

функции взаимно обратные 238 Целая часть числа 165

центр масс 191

Число действительное 162

— иррациональное 162

— натуральное 162

— рациональное 162

— целое 162 число е 241

Экстремум функции 44

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие..................................................................................... 3

ГЛАВА I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента

1. Синус, косинус, тангенс и котангенс (повторение) 5

2. Тригонометрические функции и их графики 14

{'2. Основные свойства функций

3. Функции и их графики 20

4. Четные и нечетные функции. Периодичность тригонометрических функций 30

5. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. 39

6. Исследование функций 47

7. Свойства тригонометрических функций. Гармонические колеба­ния 54

§ 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств

8. Арксинус, арккосинус и арктангенс 62

9. Решение простейших тригонометрических уравнений 67

10. Решение простейших тригонометрических неравенств.... 73

11. Примеры решения тригонометрических уравнений и систем урав­нений 78

Сведения из истории........................................................................ 81

Вопросы и задачи на повторение................................................. 88

ГЛАВА II. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ § 4. Производная

12. Приращение функции 95

13. Понятие о производной 99

14. Понятия о непрерывности и предельном переходе 106

15. Правила вычисления производных 110

16. Производная сложной функции 115

17. Производные тригонометрических функций 118

§ 5. Применения непрерывности и производной

18. Применения непрерывности 121

19. Касательная к графику функции 126

20. Приближенные вычисления 131

21. Производная в физике и технике 133

$ 6. Применения производной к исследованию функции

22. Признак возрастания (убывания) функции 139

23. Критические точки функции, максимумы и минимумы.... 143

24. Примеры применения производной к исследованию функции... 147

25. Наибольшее и наименьшее значения функции 150

Сведения из истории................................................................... 155

Вопросы и задачи на повторение................................................. 166

ГЛАВА III. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ

§ 7. Первообразная

26. Определение первообразной 169

27. Основное свойство первообразной 172

28. Три правила нахождения первообразных 176

§ 8. Интеграл

29. Площадь криволинейной трапеции 179

30. Формула Ньютона — Лейбница 183

31. Применения интеграла 188

Сведения из истории............................................................................................... 193

Вопросы и задачи на повторение............................................................................ 199

ГЛАВА IV. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

§ 9. Обобщение понятия степени

32. Корень п-й степени и его свойства 201

33. Иррациональные уравнения 206

34. Степень с рациональным показателем 209

§ 10. Показательная и логарифмическая функции

35. Показательная функция 216

36. Решение показательных уравнений и неравенств 221

37. Логарифмы и их свойства 224

38. Логарифмическая функция 229

39. Решение логарифмических уравнений и неравенств 233

40 ^v. Понятие об обратной функции 236

§11. Производная показательной и логарифмической функций

41. Производная показательной функции. Число е 241

42. Производная логарифмической функции 245

43. Степенная функция 248

44. Понятие о дифференциальных уравнениях 252

Сведения из истории..................................................................................................... 257

Вопросы и задачи на повторение.................................................................................. 261

ГЛАВА V. ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

§ 1. Действительные числа................................................................................... 265

§ 2. Тождественные преобразования............................................................................ 268

§ 3. Функции............................................................................................................ 274

$ 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств.... 282

$ 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения.... 292

Ответы и указания к упражнениям.............................................. 299

Предметный указатель.............................................................. 316

F(x) = $f(x)dx F(x>=fix)

|f (X) dx = F(b)-F(a)

I^x*dx=^pj-+C, ot*-1 J sinx dx=-cosx+C [cosx dx=sinx+C