В) J (cos Зх—sin 2х) dx\ г) \ (5—Qx—x2)dx

-5 12

274. Найдите наибольшее и наименьшее значения интеграла:

■+т

a) J cos -^-dx, a£R\ б) J cos 2 xdx, a^R. о ² 0

275. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

^а) У—0,5л:² —2л: + 3, у= 7 — х\

б) у=(х—2)², у—А — х²;

в) У = х? — Зл:+4, у=х+\\

^г) У = х² — 2х-\-2, у = 2 + Ах — х².

276. Найдите площадь каждой из фигур, на которые прямая у=х-f-4 делит фигуру, ограниченную линиями у=-^-х² и у = 8.

277. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2,5 +2л: — 0,5л:², х= — 1 и касательной к данной параболе, проведенной через ее точку с абсциссой л:=3.

278. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² — 4л:+ 5 и касательными к ней, проведенными через ее точки с абсциссами х=\ и л:=3.

279. В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороны в ее середине?

280. При каком значении а площадь фигуры, ограниченной линиями у — х² + 4л: + а (а>0), л: = 0, л: = 2 и у = 2, равна 12? (Известно, что фигура лежит в верхней полуплоскости.)

281. Найдите пары чисел а и Ь, при которых функция f {х)=

==а sin лл: + Ь удовлетворяет условиям: f' (2) = 2, $ f (л:) dx=А.

о

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ

Глава I

I. г) ^ ^. 2. г) 225°; 270°; — 105°. 3. в) 4; г) 3. 4. в) Нет; да; да. 5. в) Нет;

о 5 2.

8 8 15

г) да. 6. в) Нет; г) да. 7. г) sin а= — —; tg а=— -j|r; ctga = —g-. 8. г) —1. 9.

ч. 24 161 84 77 л я я

^В) '• ¹⁰' ^{б) —}25 ' 289 ’ 85 ’ “85' "■ ^{в) ,g}“' ^,2' ^{б) tg}T^; -^C0Sl8^; “Т'

—ctg 0,1 я. 13. г) 1. 14. в) Нет; г) да. 15. г) ^г; —4. 16. в) 0,7833;

уТ7 _ЛМ7

0, 6216; 1,2602; 0,7936. 17. б) 22°6"; 27°30'7"; 63°35'54"; 84°47'52". 18. в) 0,1 м;

3 — 2 -\2

г) 9л м. 19. в) 0,05 м². 20. б) 1. 21. в) 3; г) -=~. 22. в)

6 ‘ 3

30. в) IV; IV; II. 31. г) Плюс. 36. в) D(y) = R, Е (у) = [— 2; 0]. 37. г) D(y)=R, Е(у)=[- 1,5; 1,5]. 38. г) (0; - 1), (+ 2лл; о), n£Z. 39. в) (0; 3,5). 41. в) — + 1,

\ 2 / Хо

a-f 2

+ 1. 42. в) Нет. 43. в) (— оо; — 4)|J(—4; 2)U(2; оо). 44. в) Числовая прямая,

Рис. 2

i/(-j+2jw^ = —1. *_min=—^+2 лп, y (^—- + 2лп ^ = — 2, n£Z. 85. г) Воз­растает на [— л + 2лл; 2лл], убывает на [2лп; л + 2лп]; х_тах = 2лл, у(2лл)=0, х_т1п = л + 2ля, у(л + 2лл)= —2; n£Z. 86. в) Первое больше. 87. г) sin (—1,2), sin 0,8, sin 1,2. 88. г) Убывает на (— оо; — 1], [0; 1], возрастает на [—1; 0], [1; оо), *.па* = 0, у{ 0)=0, x_min=±l, у{— 1)=у(1)= — 1. 89. в) Возрастает на

^ +2лл; +2nnJ, убывает на +2л п\ ^ + 2лл J, х_тах = -^- +2л п, +2лл) = 1, х_т|п=~ +2лл, +2лл) = —1. neZ. 90. в) ctg ^,

ctg ^, ctg, tg ^. 91. в), г) Указание. Воспользуйтесь свойствами

1 о о о

функций у = х⁶ и у = х⁵. 92. б) Указание. Пусть — b^xi — а, тогда

— Х2<— х\^.Ь и f (—x₂)>f (—xi), так как f убывает на [а; ft], следовательно, f (*:)</(*0- 93. в) 1) D (/)=[— 6; 6], £(/) = [—2; 2\ 2) функция нечетная; 3) (—4; 0), (0; 0), (4; 0) — точки пересечения с осью Ох, (0; 0) — точка пересе­чения с осью Оу\ 4) f (х)> 0 на (— 4; 0), (4; 6], f(x)<. 0 на [—6; —4), (0; 4);

5) f возрастает на [—6; —2], [2; 6], убывает на [—2; 2]; 6) x_min = 2, f( 2)=—2, W=-2. /(-2) = 2. 96. г) 1) D (f) — E (f)=R; 2) (1; 0), (0; -1)-точки пересечения с осями координат; 3) f (х)<0 на (— оо; 1), f(x)>0 на (1; оо); 4) / воз­растает на R. 97. в) 1) D (/) = [— 1; оо), Е (/) = [0; оо); 2) (— 1; 0), (0; 1) — точки пе­ресечения с осями; 3) f(x)>0 на (—1; оо); 4) / возрастает на [—1; со). 98. в) 1) D (f) = E (/)=/?; 2) функция нечетная; 3) (0; 0)—точка пересечения с осями; 4) /(*)<0 на (— оо, 0), f(x)>0 на (0; оо); 5) / возрастает на /?; г) 1) Z)(«/) = [2; оо), £(/)=[—2; оо); 2) (6; 0) — точка пересечения с осью Ох; 3) / (х)<0 на [2; 6), f (х)>0 на (6; оо); 4) / возрастает на [2; оо). 99. в) 1) D (/) =

=/?, E{f)—(^ — o о; ~J; 2) функция четная; 3) (0; 0), (— 1; 0), (1; 0) — точки пересечения с осями; 4) f {х)С 0 на (— оо; —1), (1; оо), f(x)> 0 на (—1; 0), (0; 1); 5) f возрастает на ^ —оо; —— J, [0; 0,5], f убывает на [—0,5; 0^ [0,5; оо); х_тах=±0,5, у (— 0,5)= у (0,5) = 0.25, x_min = 0. у(0) = 0. 100. г) — cos, -ctg-jj-. 101. в) D(f)=(™;. n£Z, E(f)=R. 102. г) f (х)>0 при

Рис. 3

пп ^ ^ л, лл.,. л. яп л(л + 1)... _п Л, ЯП

~2 ^<X<~J +~2 ^ПР^И -J +~2 <*< 2-- * f ^ ^{при х=}т ^+-2 ’