Найдите область значений каждой из функций (98, 99)

98. а) у= I — 3 sin б) у = 2 cos х tg х; в) у = 2 + 3 cos 5х; г) у = 2 |sin х\ — 1.

"• ^а) l+s'in2F^{; б)}!/=л/1-С05 4л-;

^в>»=-^7ГГ^{; г}>!/ = ‘g* + ctgA-

100. Найдите промежутки знакопостоянства функции: a) (/ = 3cos(x+-J-); б) у=\— tg Зх;

в) t/= 1 — д/2 sinг) i/=l+2cos2x.

101. Какие из данных функций являются четными, какие - нечетными:

a) y = tg Зх-ctg—; б) у■■

ч. х³— х ч sin х -ч

В) y = sm-p—г) */=—------------------- cosx?

102. Среди данных функций укажите периодические и найдите наименьшие положительные периоды таких функций:

а) = 1 — sin 5х; б) у=х sin² х —х cos² х;

в) у — 3tg(-|—-j-); г) у=(sin х + cosx)²

103. Найдите промежутки возрастания (убывания), точки мак­симума, точки минимума функции:

а) у= 1+_Sin(x—б) y=jzr_{ в) У = 0,5 cos^—2х^; г) t/=V 1 — sin² х.

104. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют):

а) у = cos 2х + sin² х; б) у= 1—4 sin Зх;

в) у — sin х — cos х; г) у = 1 -j- I tg х \.

Постройте графики функций (105, 106).

105. а) у = 2sin²-^-; б) у=л[\ — cos² х;

в) у= 1+2 cos 2х; г) y = sin (х — у) — 2.

106. а) у =; б) y = (sin х — cos х)²; в) y = cos х+ |cos х|; г) y = sinxctgx.

107. Исследуйте функцию и постройте ее график:

a) </=++sin(*—2); б) y = -L tg(-|—-§-);

В) j/=1+-|-cos(-j—xj; г) у= 1 —tg 2jc.

108. Известно, что Хо — корень уравнения sin у^^=л:3- Следует

ли отсюда, что число (— хо) является корнем этого урав­нения?

109. Сравните числа:

а) sin^n + y-) и cos ^ л +; б) tg л² и ctg л²; в) tg 2 и ctg 2; г) sin 1 и cos 1.

110. Докажите: a) sina + cosa>l, если 0<а<-^-;

б) cos (sin а)>0, a£R.

111. Решите графически уравнение:

а) sin х = —х; б) tgx = V2cosx, — -5-<x<Jl;

в) tgx = x, — х<у-; г) cos х= 1 —х².

10. Степенная, показательная и логарифмическая функции

Найдите область определения каждой из функций (112—114).

112. а) y = V 16х — х3;	б) у =	V*3 + 8
в) у=Д/5 —х —	г) У =	Уг+х — 20

113. а) у = л/х2*3х —3*+1; б) у = %/2si"*-l;

в) y = log₃(4 —Зх + х²); г) y = log₂sinx.

ii/i \ л/х2 —5х + 6 114. а) у-;g(jt+|0)2;	б) у = д/logs cos х;
в) у— |п<3дг~2);	г) f/=V*g(3x2 —2х).
х2 — х — 2
Найдите область значений каждой из функций (11
115. а) у = 2 д/х +1;	б) (/ = 52“х—1;
в) у = 2 lgx + 1;	г) у = Зх-2.
116. а) у = 2C0SX;	б) У = 2 — д/х;
в) У— 1 + Hog2 х\;	г) £/=! + №!•
Найдите промежутки знакопостоянства каждой из i
(117, 118).
117. а) У=(4-)'-4;	б) y = log4(x + 3);
в) |/ = 2-3*;	г) у = л[х — 4.
118. а) */ = 4х + 2 — 4х;	б) */ = lg (х — 2)— 1;
в) «у = л/^+ 3;	г) у = 2 — Ух.
Найдите среди данных функций четные и нечетные (1
119. а) у = 5Х + 5~Х;	б) t/=lg(i— -v2);
в)	г) у = х^х.
120. а) у = х1\	б) i/==3* —3“*;
в) у = 2C0SX;	г) 0 = V? + 1-
121. Исследуйте функцию	и постройте ее график:
а) у = 2 д/х— 1;	б) (/ = 4Х_1 —2;
в) y = ylog2(x+1);	г) у = ух — 2+1.
Постройте графики функций (122, 123).
122. а) у = л[х~— 2+1;	б> Их)':
в) у — 2 — Vx+ 1;	г) у = 1 + log2 (х + 2).
123. a) */ = 5,ogs(x-1);	б) </= Hogjxl — 1; 2
в) у = 2|х|;	Г) y = log2x2.

124. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют):

Г^т.- 2. i —!—— при 0<Jx<I7,

125. Решите графически уравнение:

a) log^ * = л:— 3; б) д/х —2 = -|-;

в) \og₂²x = 2⁵~^x; г) 2^и1 = 11-|л:|.

126. Решите графически неравенство:

a) log 1 л:> а: — 3; б) -yjx — 2^ —;

~2 ^Х

в) 2^-к| ^х² +1; г) log i х~> 2х — 7.

з

127. Докажите, что наибольшие значения функций t/ = (log2 3)^s,nx и (/ = (log₃2)^cos * равны.

128. Найдите значение аргумента хо, если:

^а) / (^Х) = ~1=Г—= 0;

V 4х+ 1

б) /(*) = lg(*+15) + lgx, f (х₀) = 2.

129. Докажите, что:

/ j \ •*+1

а) функция f(^x)⁼⁼\~) убывает на множестве R\

б) функция f{x) = log2 Зл: возрастает на промежутке (0; оо).

§ 4. УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ 11. Рациональные уравнения и неравенства

Решите уравнения (130, 131).

130. а) 3(х — 2) — 5 = 4 — (5л: — 1); б) |2л'-3|=5; в) 7 —2 (3 — л:) = 4 (л: — 1) + 5; г) |4-3*[=2.

131. a) ^±l=2-i^^); б) |^+б| =4;

в) 1-^=х-³⁽⁵~^2х); г) | 1-^| =5.

132. При каких значениях а данное уравнение:

а) ах — 2х = 3(х —1); б) а (1 — jc)+2 = 3jc — ах\

в) х(2-а) — лг=5 + *; г) 5 + 3 (* + За)=9а + 5-

имеет единственное решение; не имеет решений; имеет беско­нечное множества решений?

Решите неравенства (133—135).

133. а)^-+х<1,5х + 3,5;

	в) х —4(3 —х)>2х + 7; 134. а) |4х — 3| <5; в)

135. а) ^{|2х 3|}>0;

⁷ X

в) (х — 4) 15 — Зх | < 0;

136. Решите уравнение:

а) х² + 2х— 15 = 0;

в) (х — 3) (х— 2) = 6(х — 3); г) *²-!^+4-=⁰'

137. При каком значении а имеют общий корень уравнения:

а) х² — ах —0 и х² — х — 3а=0;

б) х² — (о — 1) х = 3 и 4х² — (4а+ 3) х + 9 = 0;

в) x² + ax-f8 = 0 и х² + х + а = 0;

г) 2х² + (3а-1)х = 3 и 6х² — (2а — 3) х = 1?

138. Найдите значения k, при которых имеет один корень урав­нение:

а) (k— 1) х² + (/г + 4) х + /г + 7 = 0; б) 9х² — 2х + /г = 6 — kx\

в) (2k — 5) х² — 2 (k— 1) х + 3 = 0; г) 3/гх² — 6х + /г — 2 = 0.

139. Не решая уравнения Зх² — 5х — 2 = 0, найдите: а) сумму его корней; б) произведение его корней; в) сумму квадратов его корней; г) сумму кубов его корней.

Решите уравнения (140, 141).

6х — х² — 6 2х — 3 j

X— 1 X— 1

г)_________ I 2_₌_^L_

’ х — 4 (2 — х)² (х+2)² '

б) 2х⁴-5х² + 2 = 0;

Решите неравенства (142—144).

142. а) 2х² + 6х+17>0; б) х² — 3,2х<0;

в) (Зх —2)² —4х(2х —3)>0;

г) (6х-1)(1+6х)+14<7х(2 + 5х).

з) ^{-^х.. --⁾⁽* --^0; б) -^x, ⁺ f,'^-<0;

х —3 хг — 2х + 8

\ % — 2 ^ г\ \ хг + 5х + 4 f\

(х —3) (х— 5) х¹ — 5х — 6

а) (х—l)(x-f 2)(х —3)(х —4)<0; б) х⁴ —3x²-f2<0;

\ 4 —х. 1 _х, I 12, 7

в)----------- _г>-; г) Ч—-<—•

х — 5 1 — х х~ х

Докажите справедливость неравенства:

а) т-\~ — ^4 при т> 0; б), -^^т—^ 1;

⁷ т ^г 1+т-

^в) *т" + -— ^2 при а>0, Ь~> 0;

Ь а

г) при а>0, 6>0, с>0, aCb.

12. Иррациональные уравнения и неравенства

Решите уравнения (146—149).

б) д/л:²— 16 = х² — 22;

г) лА-² -f-9 = х~ — 11.

б) 2 д/х — 1 -Ь д/х— 1 =3;

г) 2V^+T-V*TT=6.

б) д/х И-Vx —2 = 0;

г) УЗлГ+Т —V3x+1=0.

б) \/х — 2 = х — 2;

г) д/^^{3 —} 5х² + 16х — 5 = х — 2.

в) д/^+36 = х²-54; Решите неравенства (150, 151). а) д/х² —5^2; в) д/х² — 16^ 1; а) д/х² —6х + 9> 3; б) в) д/25 — 20х + 4х² ^ 1;

13. Тригонометрические уравнения и неравенства