Дос я\ lg 8-j-lg 18 log3 16

^49Ь* ⁾ 2 lg 2 + lg 3 * ⁶⁾ log₃ 4 *

в) log₂ 11 log₂ 44; r) logo.3 9—2 logo,3 10.

497. Найдите x, если:

а) log₆ x = 3 log₆ 2 + 0,5 log₆ 25 — 2 log₆ 3;

^б) lg*=-|-lg5a —3 1g6 + 4 1gc,

в, lg* = 51gm+-|-lgrt—^-lg/r, r) log₄ log₄ 216 — 2 log₄ 10 + 4 log₄ 3.

498. Докажите:

a) log_±3+1og₃4-<-2; 6) ₄^|°^г*⁷=7^|°<^п4;

в) Iog₃²7 + log₇3>2; r) 3"^,e'⁵ = 5'"⁸'³.

38. Логарифмическая функция

Пусть а — положительное число, не равное 1. Определение. Функцию, заданную формулой

У = log_e х, (1)

называют логарифмической функцией с основанием а.

Перечислим основные свойства логарифмической функции.

1. Область определения логарифмической функции — мно­жество всех положительных чисел R+, т. е. D(\og_a)=R+.

Действительно, как отмечалось в предыдущем пункте, каж­дое положительное число х имеет логарифм по основанию а.

2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.

В самом деле, по определению логарифма любого действи­тельного у справедливо равенство

loge (а^у)=у, (2)

т. е. функция у=log,,* принимает значение уо в точке хо=а^у*.

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а> 1) или убывает (при 0<а< 1).

Докажем, например, что при а>1 функция возрастает (в случае 0<о<1 проводится аналогичное рассуждение).

Пусть х\ и х₂ — произвольные положительные числа и хг>х\. Надо доказать, что log_a x₂>log_e х\. Допустим противное, т. е. что

log_a х₂< logo Х\. (3)

Так как показательная функция у—а^х при а> 1 возрастает, из неравенства (3) следует:

a, ^og“^xs<a^log“^x‘. (4)

Но а^1ое“^Хг=х2, а^1оеаХ, = х\ (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что х?^.хi. Это противоречит допуще*

НИЮ X2>Xi.

Для построения графика заметим, что значение 0 логариф­мическая функция принимает в точке 1; log_a 1 =0 при любом а~>0, так как дг = 1.

Рис. 135

Вследствие возрастания функции при а> 1 получаем, что при х> 1 логарифмическая функция принимает положительные зна­чения, а при 0<*< 1 — отрицательные.

Если О С ас 1, то у= log_a х убывает на /?+, поэтому log_a л:>0 при 0<*d и logaXCO при х>1.

Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = \og_a х при a> 1 (рис. 135, а) и0<а<1 (рис. 135,6).

Справедливо следующее утверждение (доказательство см. в п. 40):

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х (рис. 136).

Рассмотрим примеры применения свойств логарифмической функции.

О П р и мер 1. Найдем область определения функции

f(x) = log₈ (4 — 5х).

Область определения логарифмической функции — множество R+. Поэтому заданная функция определена только для тех х, при которых 4 — 5*>0, т. е. при х<;0,8. Следовательно, областью определения заданной функции является интервал (—оо; 0,8).

Пример 2. Найдем область

определения функции _{3 5}

f (х) = log₂ (х* — 3х — 4).

Как и в предыдущем примере, Рис. 137

функция / определена для всех

тех х, при которых х² — 3* — 4;>0. Решая это квадратичное неравенство, получаем, что D (/) — объединение интервалов (— оо; — 1) и (4; оо).

Пример 3. Найдем область определения функции

f(*)=l0g7 ^{2Х + 3}

Х

Решая методом интервалов неравенство >0, находим

(рис. 137), что D (/)=(—j-) ■

Пример 4. Сравним числа: a) log₃ 5 и log₃ 7; б) log! 5

и log, 7; в) log₃ 10 и log₄ 12.

а) Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрао тает на всей числовой прямой. Так как 7 >5, то log₃ 7 >■ log₃ 5.

б) В данном случае основание логарифма меньше 1, поэтому функция у — log | х убывает, и, следовательно, log, 7<log,5.

Т У 7

в) Заметим, что 10>9 = 3, и поэтому log3 10 >2, с другой стороны, 12<16 = 4², и, следовательно, log4 12<2. Итак, log₃ 10>log₄ 12.

Пример 5. Что больше: log2 3+log₂7 или log₂(3 + 7)? По основному свойству логарифмов log₂ 3 + log₂ 7 = log₂ 21. А так как log₂ (3 + 7) = log₂ 10 и 10<21, а основание логариф­ма 2 больше 1, то log₂ 10dog₂ 21, следовательно, log₂3 + + log₂ 7 > log₂ (3 + 7). #

Упражнения

Найдите область определения выражения (499—500).

499. a) log* (10 — 5а:); б) logs (9 —х²);

в) log₃ (х—4); г) logo,3 {х² 16).

500. a) log_Vio(6+x—д;²); б);

^в) ^1о8о.э frfr * ^1о^(^{х2 — 2х}~³)-

Сравните числа (501—503).

501. a) log₂ 3,8 и log₂ 4,7; б) log, 0,15 и log, 0,2;

7 7

в) log₃5,l и log₃ 4,9; г) log₀,₂ 1,8 и log₀,₂2,l.

502. a) log/g 3 и 1; б) log^ 1,9 и log_±2,5;

в) log„ 2,9 и 1; г) logo,7 л/² и log_0>7 0,3.

503. a) log2 10 и logs 30; б) log₀,3 2 и logs 3; в) log3 5 и log7 4; г) log3 10 и logs 57.

504. Перечислите основные свойства функции и постройте ее график:

a)# = log3*; б) у = logj_x; в) у = log₄ *; г) у = \ogj_x.

2 3

505. Найдите область определения выражения:

a) log₂sinjr, б) log₃(2^x—1); в) log, cosх; г) lg (1 — 3^х).

~2*

606. Найдите значение выражения:

а) log2 2 sin yg-+log₂ cos -Ц-;

б) log₄(V7-V3)+1og₄(Vi9+\5r+V9);

в) Igtg4 + lgctg4;

г) log„(5+2V6)+log„(5-2V6).

507. Постройте график функции:

а) У = log₃(x —2); б) у=— \ogj_x;

в) ^ = log₂(x+l); г) у = log_±x+2.

608. Решите уравнение:

а) log₃ х — 2 log₉ 6 — log₉ 12;

б) logj^ x = logo_t2 35 — 2 log_0>2 25 д/7;

¥

в) logs x=-jr Iog3 144 + logs 0,75;

г) log_nx = 3 logo.i 4 + 2 logo.i 1-i-.

509. Решите графически уравнение:

a) lg jc= 1 — x\ 6) log, x=x — 4;

T

в) log, X=X—6] r) log2x=3—X.

T

510. Верно ли, что логарифмическая функция:

а) имеет экстремумы;

б) является нечетной;

в) является периодической;

г) является четной?

511. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на промежутке /:

a) f(x) = log^x, / = [1; 4]; б) f (х) = log₉x, /=[-5“, э], в) f(x) = log₅x, l]; ^г) /(*) ^{= 1}°&\_^х> ^/=[4"’ ⁴]

39. Решение логарифмических уравнений и неравенств

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение

logo x = b.

Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на про­межутке (0; оо) и принимает на этом промежутке все дейст­вительные значения (рис. 135). По теореме о корне (п. 8) от­сюда следует, что для любого b данное уравнение имеет и притом только одно решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что а^ь является таким решением.

О Пример 1. Решим уравнение log₂(х² + 4л:-}-3) = 3.

Данному уравнению удовлетворяют те значения х, для ко­торых выполнено равенство л:² + 4л: + 3 = 2³. Мы получили квад­ратное уравнение х²-\-4х — 5=0, корни которого равны 1 и —5. Следовательно, числа 1 и —5 — решения данного уравнения.

Пример 2. Решим уравнение logs(2х+3)=logs(*+1)-

Это уравнение определено для тех значений х, при которых выполнены неравенства 2х-{-3;>0 и х-\-1 >0. Для этих х данное уравнение равносильно уравнению 2х-\-3=х-\-1, из которого на­ходим х=—2. Число х=—2 не удовлетворяет, однако, нера­венству х-{-1>0. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Это же уравнение можно решить иначе. Переходя к следствию данного уравнения 2х-\-Ъ = х-\-1, находим, что х=— 2. Как всег­да, при неравносильных преобразованиях уравнений найденное значение необходимо проверить подстановкой в исходное уравне­ние. В данном случае получаем, что равенство logs(— 1)= = logs(—1) неверно (оно не имеет смысла).

Пример 3. Решим уравнение log_x (х— 2х+2)= 1.

Этому уравнению удовлетворяют такие числа х, для которых выполнены условия: х>0 и хФ 1 (х — основание логарифми­ческой функции) и равенство х²—2x-j-2=x_f т. е. х²—3х4-2=0. Полученное квадратное уравнение имеет корни 1 и 2. Но х=\ не может быть решением данного уравнения. Следовательно, решением данного уравнения является только число 2.

Пример 4. Решим неравенство log 1 (5 — 2х)> —2.

Число —2 равно log, 9. Поэтому данное неравенство можно

Т

переписать в виде log, (5 — 2jc)>log, 9.

Т т j

Логарифмическая функция с основанием — определена и убы-

О

вает на R+, так как -^-<1. Следовательно, второму неравенству

удовлетворяют такие числа х, для которых выполнено условие 0<5 — 2х<9, откуда —2СхС2,5.

Итак, множество решений данного неравенства есть интервал (-2; 2,5).

Пример 5. Решим уравнение log!х — log^x — 3 = 0. Перейдем во втором слагаемом к основанию 5 и сделаем замену переменной / = logs*, тогда

lo_g,*=-!2ItL=-f=2/.