Определение.Логарифмомчислаbпо основаниюана­зывается показатель степени, в которую нужно возвести осно­вание а, чтобы получить число Ь

Формулу а^1ое°^ь = Ь (где 6>0, а~> 0 и аф 1) называют основ­ным логарифмическим тождеством.

О П р и м е р 1. Найдем значение: a) log2 32; б) logs 0,04.

а) Заметим, что 32 = 2⁵, т. е. для того чтобы получить число 32, надо 2 возвести в пятую степень. Следовательно, log2 32 = 5.

б) Заметим, что 0,04 = “=5~², поэтому logs 0,04=—2. Пример 2. Найдем логарифм числа по основанию -у/З. Заметим, что (л/3)^_4=-^-. Поэтому по определению логариф­ма \og^~= —4.

Пример 3. Найдем х, такое, что: a) loggx = 4-;

б) log* 8= —

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

_i_

а) x = 8^,ogeX=8³=2;

_А _±

б) x^logj,8 = 8, т. е. х ⁴ =8, откуда л: = 8 ³ =—. #

2. Основные свойства логарифмов. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом а>0 (аф\) и любых положительных х и у выпол­нены равенства:

1°. log_e 1=0.

2°. log_e а = 1.

3°. log_e ху = log_e х + log_e у.

4°. log_ey-=log_ex—log_ay.

5°. \og_ax^p=p\og_ax

для любого действительного p.

Для доказательства правила 3° воспользуемся основным лога­рифмическим тождеством:

х = а'°*'^х, у=а}°^е‘^у. (1)

Перемножая почленно эти равенства, получаем:

ху=a^log“ * • a^loe‘^y = а'°^е•^х+log“^у,

т. е. xy=a^ioeaX+loeaU. Следовательно, по определению логариф­ма loge (ху) = loga X -f loga у.

Коротко говорят, что логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Правило 4° докажем вновь с помощью равенств (1):

„^1ое«*

.^lognjt-log.у

У а

следовательно, по определению log_a — =log_a х — log*, у.

У

Говорят, что логарифм частного равен разности логарифмов. Для доказательства правила 5° воспользуемся тождеством x = a^logaX, откуда х^р = (a^XogaX)^p=a^pXog°^x. Следовательно, по опреде­лению loga Х^Р = р loga X.

Говорят, что логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию: