LogsV5 1

Теперь данное уравнение перепишется в виде t²— 21 — 3 = 0. Кор­ни этого квадратного уравнения 3 и —1. Решая уравнения замены log5* = 3 и log5* =— 1, находим х = 5= 125 и *=5-'=0,2.

Пример 6. Решим систему уравнений

/ lg (I/—x) = \g 2,

I log₂ х — 4 = log₂ 3 — log₂ у.

Первое уравнение системы равносильно уравнению у—х = 2,

Х 3

а второе — уравнению —, причем х>0 и t/> 0. Подставляя

х 3

у = х-\-2 в уравнение —, получим х (х-f 2) = 48, откуда

х²-\-2х—48 = 0, т. е. х=—8 или х = 6. Но так как х>0, то х=6 и тогда у = 8. Итак, данная система уравнений имеет одно решение: л: = 6, у — Ъ.

Заметим еще, что с помощью логарифмов можно записать корень любого показательного уравнения вида а^х = Ь, где Ь> 0 (чего мы не могли еще сделать, решая примеры в п. 36). Этим корнем является число x = \og_ab.

Пример 7. Решим уравнение 5‘"'^3х=7.

По определению логарифма 1—3x = logs7 и л: - - ——

Упражнения

Решите уравнения (512—515).

512. а) 9^х = 0,7; б) (0,3)^х = 7; в) 2^Х = 10; г) 10^А = л.

513. a) log₅* = 2; б) log_0l4*= —1; в) log₉x =—г) \gx = 2.

514. a) log, (2х— 4)=—2; б) log_n (л^ + 2х + 3)= log„ 6;

в) log₀.₃(5-f 2х)=1; г) log₂ (3—х)=0.

515. а) (0,2)^4-х = 3; б) 5^А’ = 7; в) З²~³* = 8; г) 7^2х = 4.

Решите неравенства (516—517).

516. a) log₃JC>2;6)log₀₍5X> — 2; в) logojxd; г) log₂₅x<2.

517. a) log4 (х—2)<2; б) log, (3 — 2х)> — 1;

в) log₅(3x-fl)>2; г) log₁(4x+l)< — 2.

Решите уравнения (518—520).

518. a) log_a х — 2 log_a 3 + log_a 5; б) lg (х — 9)-flg (2х— 1)=2; в) loga Х= loga 10—loga 2; г) 10g₃ (х + 1)-f 10g₃ (х + 3) = 1.

519. а) -^-log₂(x — 4)+-|-log₂(2x — l) = log₂3;

б) lg (Зд:²Ч- 12ЛГ-+-19) —lg (3x4-4)= 1;

в) lg(*² + 2x — 7) — lg(x — 1)=0;

r) logs (x² + 8) — logs (x +1) = 3 log₅ 2.

520. a) log² x + log4 -yjx— 1,5 = 0; 6) lg² x~ lg x²-\- 1 =0;

в) log! x — logs x = 2; r) log! x — 2 log3 x — 3 = 0.

521. Решите систему уравнений:

a) i x+y = 7, 6) | log₄ (x-\-y)=2,

I lgx+\gy=\\ \ log₃x + log₃^=2-f log₃7;

в) j x+y = 34, r) i Iog₄ x — log₄ y = 0,

I log₂x-f log₂ # = 6; \ x² — 5i/²-f4 = 0.

Решите уравнения (522—524).

522. a) _J_+_1_=|. 6) log₂ * ¹⁵

lgJt+1 lg-< + 5 ’ / ь _{4 x}.

*°g2 "g--- 1

^ lg x t. _r\ ¹ I 5 —|

' lg (5jc—4) * ⁴ lg x—6 ‘ lg x+2

523. a) logo x = log^_a 2 + logj^ 3; 6) log* 2 — log₄ x-f-|-=0;

в) log₃ x 2 log x = 6; ° r) log₂₅*-Hogs * = log jл/8-

524. a) log₂ (9 — 2^X) = 3 — x; ⁵

6) log₂ (25*⁺³— l)=2 + log₂ (5*+³ + 1);

в) log₄ (2-4* ² — 1) = 2jc — 4;

г) log₂ (4* -f 4) = log₂ 2^х -f log₂ (2^{х +1} — 3). Решите неравенства (525—528).

525. a) lg(2x — 3)>lg(x+l) в) lg(3x — 7)<lg (дг-h 1)

526. a) logo.s x > log₂ (3 — 2x)

в) lgx + \g(x— 1)< lg 6

527. a) log§ л: — log₂ л:^ 6; в) lg²* + 2 lg *>3;

. a) log₂(sin-|-)< — 1;

в) log, cos 2x> 1;

6) logo,3 (2x—4)> logo,3 (*-|-1); r) logo.s (4x — 7) < log₀.₅ (*4-2).

6) log„ (x + I) + logn a:< log_n 2; r) log₂ (x² — x— 12)<3.

6) log², x — 4>0;

У

г) log! X —9<0.

6) |3 — log₂ x\ <2; r) |3 lg x— 11 <2.

Решите системы уравнений (529—530). 529. a) / log±(* + */) = 2, 6) { lg (*2 + */2) = 2,

( log₃ (x — y) = 2; log₁x4-log₁f/ = 2,

3 3

logj^x —log_JLi/=4;

530. а) Г 3^y • 9* = 81,

I ¹ё(^х+У? — lg* = 2 lg 3;

I log₄₈ *+l0g₄8 У= 1; Г) / lg(*²+#²)=l + lg 13,

I lg {x + y) = \g(x — #) + lg8-

_б) f i₀i+»e(*+»)=50_t

I lg(* + «/) + lg(* — f/) = 2 — lg 5;

в) /3^2^ = 576, r) | lg л: — lg y = \g 15

I l°gV2 (i/ — *) = 4;

Пример 2. Для функции f (х) = х² уравнение f (л:)=г/о при уо>0 имеет два решения: х\=л[уо, лтг =—(Если уо—0, решение одно: *о = 0.) Ф

Функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке области определения, называют обратимой. Таким образом, при к,Ф0 функция f (x) = kx-\-b обратима, а функция f(x)=x² (определенная на всей числовой прямой) не является обратимой.

Замечание. Из определения обратимой функции сразу следует, что если f обратима, а число а принадлежит области значений Е (/), то уравнение f (х) = а имеет решение и притом толь­ко одно.

2. Обратная функция. Пусть / — произвольная обратимая функция. Для любого числа уо из ее области значений Е (/) имеет­ся в точности одно значение хо, принадлежащее области опре­деления D (/), такое, что f(xo)=yo. Поставив в соответствие каж­дому уо это значение Хо, получим новую функцию g с областью определения Е (f) и областью значений D (/). Например, для обрати­мой функции f (.x) = kx-\-b (кфО) значение новой функции g в про­извольной точке уо задается формулой

Выбирая для аргумента функции g привычное обозначение х, находим, что

_ / \ х—Ь 8 (*)=—•

Если функция g в каждой точке х области значений обра­тимой функции / принимает такое значение у, что f(y)=x, то говорят, что функция g — обратная функция к f.

Как показано выше, функцией, обратной к функции

f (x) = kx-{-b {кФ0), является функция g(x)=—^~. Рассмотрим еще один пример.

О Пример 3. Докажем, что функция f(x)=x³ обратима, и выведем формулу, задающую функцию y — g (x), обратную к f.

По определению обратной функции сначала надо доказать, что уравнение f (у)=х при любом значении х имеет единственное решение у. В данном случае это уравнение у³=х, которое имеет единственное решение */=У* при любом х (см. п. 8). Поэтому функция f(x)=x³ обратима и обратной к ней является функция g(x)=^Jx. Графики этих функций изображены на рисунке 138. ф

Если задан график обратимой функции /, то график функции g, обратной к f, нетрудно построить, пользуясь следующим утверждением:

Графики функции f и обратной к ней функции g симметричны относительно прямой у=х.

Рис. 138

Докажем это свойство. Заметим, что по графику функции / можно найти числовое значение обратной к f функции g в про­извольной точке а. Для этого нужно взять точку с координатой а не на горизонтальной оси (как это обычно делается), а на верти­кальной. Из определения обратной функции следует, что значение g (а) равно b (рис. 139, а).

Таким образом, если считать, что выбрана несколько необыч­ная система координат (аргумент откладывается на вертикальной оси, а значения функции — на горизонтальной), то можно сказать, что график обратной к / функции g — это график функции / (по­строенной в обычной системе координат). Для того чтобы изобра­зить график g в привычной системе координат, надо отразить гра­фик / относительно прямой у = х (рис. 139,6).

Если функция g — обратная к функции f, то функция g обрати­ма и обратной к ней является функция f. Поэтому говорят, что функции fug взаимно обратны.

Рис. 140

Теорема (об обратной функции). Если функцияf возраста­ет (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (соответственно убывающей).

Доказательство. Положим для определенности, что функция f возрастающая. Обратимость функции / — очевидное следствие теоремы о корне (п. 8). Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к /, возрастает на множестве Е (/).

Пусть х\ и х₂ — произвольные значения из Е (/), такие, что jc2>xi, и пусть y_{=g(xi), y₂=g(x₂). По определению обратной функции Xi=f(y 1) и X₂=f(y₂).

Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функ­ция, находим, что допущение у\^у₂ приводит к выводу f (yi)^ ^т- ^е- *1^*2- Это противоречит предположению х₂~>х\. Поэтому (/2 >i/i, т. е. из условия *2>*i следует, что g {х₂)>g (xi).

Именно это и требовалось доказать.

О Пример 4. Как отмечалось выше, функция f(x) = x² не является обратимой. Однако функция /*, определенная на проме­жутке [0; оо) формулой f* (х)=х², возрастает на этом промежутке

и, значит, имеет обратную. Обратной к функции f* является функция g4*)===V*- Графики этих функций изображены на рисун­ке 140, а. #

Вообще функция f(x) = xⁿ при любом натуральном п воз­растает на промежутке [0; оо) и поэтому имеет обратную. Об­ратной к функции f(x)=X^я является функция g(x)=^[\[x. Графики этих функций при некоторых значениях п изображены на рисун­ке 140, б, в.