Log&X

Logb а

(Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т. е. при *;>0, а>0 и аФ 1, Ь>0 и ЬФ 1.)

По правилу логарифмирования степени и основному логариф­мическому тождеству получаем:

logfr x = \ogb (a^logoJ;\

откуда

log₆ x=logo x • logb a.

Разделив обе части полученного равенства на logt а, приходим к нужной формуле.

С помощью формулы перехода можно найти значение логариф­ма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь одного основания Ь. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов (десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозна­чают lg, а с натуральными логарифмами вы познакомитесь в п. 41).

О Пример 4. Найдем log₀.3 7.

Пользуясь калькулятором (или таблицами), находим lg7««0,8451, lg 0,3«0,4771 — 1 = —0,5229. Следовательно, по фор­муле перехода log₀^ 7— 1,6162.

Пример 5. Известно, что log₂5 = a и log₂3 = 6. Выразим log₂ 300 через а и Ь.

Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем:

log₂ 300 = log2 (3-5²*2²) = log₂ 3 + 2 log₂ 5 + 2 log₂ 2 = 6 + 2a + 2.

Пример 6. Выразим логарифм выражения 8а³ У&* через log₂ а и log₂ b. (Коротко говорят: прологарифмируем данное вы­ражение по основанию 2.)

Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем:

log₂ (8а³ У/й) = 1°g₂ (2³-а³*6 ⁷)=3 log₂ 2 + 3 log₂ l°g2 b =

= 3 + 3 log₂ а+у- log₂ b.

Пример 7. Найдем x, если

logs x = log₅ 7 + 2 log₅ 3 — 3 log₅ 2.

Сначала преобразуем правую часть данного равенства, поль­зуясь основными свойствами логарифмов:

logs х = logs 7 + logs З² — logs 2³ = logs logs т. e. log₅ x=log5-^- и потому x=^p-= 7,875.

О О

Пример 8. Найдем значение выражения jggl—lg~f~*

Пользуясь основными свойствами логарифмов, преобразуем

числитель и знаменатель этой дроби: lg 72 — lg9 = lg-g-= 226

= lg 8 = 3 lg 2; lg 28 — lg 7 = lg — =lg 4 = 2 lg 2. Следовательно,

lg 72 — lg 9 _ 3 lg 2 _ 3 _m lg 28 —lg 7 2 lg 2 2 ‘

Упражнения

Найдите логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а (476—478).

476. а) 3²=9; б) 2-³=-Ь, в) 4²=16; г) 5~²=±.

.L —

477. а) 9² =3; б) 7°=1; в) 32⁵ =2; г) 3~¹=-^-

2. А — —

478. а) 27^т=9; б) 32⁵ =8; в) 81⁴ =27; г) 125³=25.

Проверьте справедливость равенств (479—482).

479.	а)	|0®8Т=-~	-4; 6) log	16 1	= 0; в) log4 16 = 2; г) logs 125=3.
480.	а)	logs 0,04 =	-2;	б)	log7 343 = 3;
	в)	lg 0,01 = -	-2;	г)	1°взяз=-5-
481.	а)	l°gV2 8 = 6;		б)	10^27=-б;
	в)	log±9 = - о	•2;	г)	logo.5 4 = —2.
482.	а)	О log2^ 128 =	_14. “ з *	б)	logo.2 0,008 = 3;
	в)	logvs 0,2 =	: —2;	г)	logo.2 125= —3.
483.	Найдите логарифмы данных чисел по основанию о:
	а)	25, л/5	при а = 5		б) 64, 4"» 2 при о=8, О
	в)	16, -1-. л/2	при а = 2		г) 27, V3 при а—3

Найдите число х (484—486).

484. a) log₃ х— — 1; б) log i х= — 3; в) log₅ х — 2\ г) log? х — —2.

б"

485. a) log₄x= — 3; б) log^A:=0; в) log, х=1; г) log, х—— 3.

т т

486. a) log* 81 =4; б) log,-^ = 2; в) log*~-=— 2; г) log* 27 = 3. 8* 227

487. Запишите число в виде логарифма с основанием а:

а) 2; -у, 1; 0 при а —4; б) 3; —1; —3; 1 при а=3;

в) 3; 0; —1 при а = 2; г) 1; —2; 0; 3 при а = 5.

Упростите выражения, пользуясь основным логарифмичес­ким тождеством (488—490).

488. a) l,7^log'⁷² б) л^1ое"⁵'²; в) 2^log25; г) 3,8^log3e11.

489. a) 5^1+,og53; б) 10'-^,g2; _в) (^-)¹⁺'°^g4 ²; г) 3²-^,og3'⁸.

490. а) 4^2log43; б) 5 ³¹°^в,'2 _{t в}) _г) ₆-2io_g65

491. Прологарифмируйте по основанию 3 (а>0, 0): a) (W#; б) В) 9а⁴ \Г_Ь- г)

Прологарифмируйте по основанию 10, где а>О, Ь>0, с>0 (492—493). ₂

492. а) 100д/оРс; б) ~в) ², г)

а² Ь³

i — —

493. а) loVb^c ³, б) в) 10~Wc^Y, г) -^L

10⁷а³6⁸

494. Известно, что logs2=a и logs 3 = 6. Выразите через а и Ь:

a) logs 72; б) log₅ 15; в) logs 12; г) log₅ 30.

Вычислите (495—496).

495. a) lg 8 + lg 125; б) log₂ 7 — log₂

в) log,₂ 4-f- logi2 36; г) Ig 13 — lg 130.