Упражнения. Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к дан­ной функции f

Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к дан­ной функции f. Укажите область определения и область значений функции g (531—532).

531. a) f{x)=2x-f-l; 6) f (x)=-^-x —1^;

j

532. a) /(*)=—j-; 6) f (x) = 2x² (x^0)\

^B> ^^⁼I+2 ^; / W = V^+1*

533. Постройте график функции, обратной к /:

а) /(х)=2*³+1; б) /(*) = (л:+1)², *6(-оо; -1];

в) f(x)=— 2*³+1; г) f(x)=(x— I)², *£[1; оо).

534. По графику функции / (рис. 141) найдите значения обрат­ной к f функции g в точках —2, 1 и 3. Постройте график функции g, укажите ее область определения и область зна­чений:

а) /(*) = /iW; б) f(x)=f₂(x)’, в) f(x)=f₃(x); г) f(x)=f₄(x).

Докажите, что функция f имеет обратную на указанном

промежутке. Постройте график функции, обратной к f (535—536).

535. a) f(x)=x²-\- 1, б) / (х)=2х, (— оо; оо);

^в) /(*)=V*. *>0; г) }(х)=х?+ 1, (—оо; оо).

536. a) f(x)=smx, *б[—?г; -§-]; б) f (*)=tg ^х> *б(—-fs -§-); в) f (х)=cosx, лг6[0; л]; г) f (х)=ctgx, *6(0; л).

§ 11. ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ

41. Производная показательной функции

1. Число е. В предыдущих пунктах графики показательной функции изображались в виде гладких линий (без изломов), к ко­торым в каждой точке можно провести касательную. Но сущест­вование касательной к графику функции в точке с абсциссой хо равносильно ее дифференцируемости в лго- Поэтому естественно предположить, что показательная функция дифференцируема во всех точках области определения.

Нарисуем несколько графиков функции у = а^х для а, равно­го 2; 2,3; 3; 3,4 (рис. 142), и проведем к ним касательные в точке с абсциссой 0. Углы наклона этих касательных к оси абсцисс при­близительно равны 35, 40, 48 и 51° соответственно, т. е. с воз­растанием а угловой коэффициент касательной к графику функции у = а^х в точке М (0; 1) постепенно увеличивается от tg 35° до tg 51°. Представляется очевидным, что, увеличивая а от 2 до 3, мы найдем такое значение а, при котором угловой коэффициент соответствую­щей касательной равен 1 (т. е. угол наклона равен 45°). Вот точная формулировка этого предложения (мы принимаем его без доказательства):

Существует такое число, большее 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция у = е^х в точ­ке 0 имеет производную, равную 1, т. е.

Дх___.

^е— И при Д*->0. (1)

Замечание. Доказано, что число е иррационально и поэ­тому записывается в виде бесконечной десятичной непериоди­ческой дроби. С помощью электронных вычислительных машин найдено более двух тысяч десятичных знаков числа е. Первые знаки таковы: е — 2,718281828459045....

Функцию е^х часто называют экспонентой.

о

Рис. 142

2. Формула производной показательной функции.

Теорема 1. Функция е^х дифференцируема в каждой точ­ке области определения, и

(е^ху = е^х.

Доказательство. Найдем сначала приращение функ­ции у = е^х в точке хо:

А у = е^х°^+Ах — е*° = е^Хо • е^Ах — е^Хо = е^Хо (е^&х — 1).

Пользуясь условием (1), находим:

еХо при Ал: -*■ 0.

А у_ еХо (еЛ*— П _

	Ах
		Ах		Ах

По определению производной отсюда следует, что у' = е*, т. е. (iе^ху = е^х при любом х.

О П р и м е р 1. Найдем производную функции у=е^5х:

(е^5ху = е^5х-(5х)' = 5е^5х. ф

Число е положительно и отлично от 1, поэтому определены лога­рифмы по основанию е.

Определение. Натуральным логарифмом (обозначается In) называется логарифм по основанию е:

In х = log, х. ( 2 )

По основному логарифмическому тождеству для любого поло­жительного числа е^1па=а. Поэтому а* может быть записано в виде

а^х=(е^1па)^х = е^х1па. (3)

Выведем формулу производной показательной функции при произвольном значении а.

Теорема 2. Показательная функция а^х дифференцируема в каждой точке области определения, и

(а^ху =а^х In а. (4)

Доказательство. Из формулы (3) по теореме о произ­водной сложной функции получаем, что показательная функция дифференцируема в каждой точке и

(о*)' =(е^{х 1п} У = е^х1п°\па = а^х\па. (5)

Следствие. Показательная функция непрерывна в каждой точке своей области определения, т. е. а^х —*~а^Хо при х —

Это вытекает из дифференцируемости показательной функции и леммы о непрерывности дифференцируемой функции (см. с. 111).

О Пример 2. Найдем производные функций у = 2* и у = 5~^3х. По формуле (4) имеем (2^х)'= 2* In 2; (5“³*)'=(—З)*5“^3д: In 5. Пр имер 3. Исследуем функцию f(x)=xe^x на возрастание (убывание) и экстремум.

Найдем производную этой функции:

/'(*) = (хе^ху=х'е^х + а: (е^х)' = е^х + (1 + х).

Так как е^Хч>0 для любого л:, знак /' совпадает со знаком (l-f-x). Следовательно, /'(*)>0 на промежутке (—1; оо), поэтому f воз­растает на промежутке [— 1; оо). На промежутке (— оо; — 1) имеем /'(*)<0, поэтому f убывает на (—оо; —1]. В точке хо= — I производная меняет знак с минуса на плюс, и, значит, лсо = — 1 является точкой минимума.

График функции приведен на рисунке 143. ф

3. Первообразная показательной функции.

Теорема 3. Первообразной для функции а^х на R является

X

функция.

Действительно, In а — постоян­ная, и поэтому

(i£r)'=T^rW=

= —J—а^х In а = а^х

In а

при любом х. Этим доказано,

if что — есть первообразная для ах на R. А из равенства (ех), = ех для всех х следует, что ех есть перво­образная для ех на R. О Пример 4. Найдем перво­образные для функций: а) /(*) = 5'; б) g(x)=4-2"; в) h\x) = 4eZx— 10-0,6х. Пользуясь теоремой 3 и прави­лами нахождения первообразных, выписываем ответы:

Пример 5. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями У=3х, у = 0, *= —1, х=2. Указанная фигура есть криволинейная трапеция (рис. 144). Поэтому ее площадь S находим по формуле площади криво­линейной трапеции:

		Рис. 144

a) f(x) = e ^х, х₀ = 0; в) f(x) = e^x, х₀ = 0;

б) f(x)=3^x, х₀=1;

^г) /(*) = 2~^х, х₀= 1.

541. Найдите общий вид первообразных для функции:

а) /(*)=5е«; б) f(x)=2-3‘-, в) /(*)=Г; г) f (х)=-±-е’+1.

542. Вычислите интеграл:

1112 a) J 0,5^Xdx; б) \ e^2xdx\ в) \ 2^Xdx\ г) \ 3^Xdx.

— 2 JL

Найдите производную каждой из функций (543—544).

X

543. а) у = е^х> sin б) у = 7²tg3x;

в) у = е^ cos 2л:; г) г/ = 2 “^ж ctg

544. а) у=щ-- б) у=ф-^\

ч 3^х v 0,3“'

в) У = ^ГТТТ\ г)

3 •

2^Х + 5^{Х 7} * V^+0,5'

545. Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию:

^а) f(x)=xe^5x; б) / (х)=х?2~^х; в) f(х) = хе~^х\ г) f (х) = х⁴0,5^х.

546. Найдите общий вид первообразных для функции:

a) f(x)=e³~^2x\ б) /(л:) = 2-0,9^X—5,6“*; в) }(х) = 2-'^0х- г) / (х)=е^3х + 2,3^1+х.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями (547—548).

547. а) у = е^х, у= 0, х = 0, х=\; б) у = 3^х, у = 9^х, х=1; в) у = 2^х, у = 0, х= — 1, х = 2\ г) у = е^х, у = е^2х, х=\.

548. a) у = 3, х=\\ б) y = e^x_t y = e~^x_t у = е\ в) У=(^-)^Х' У^=Х' х=—2\ г) У=(-^-). У = 4^х, у = 4.

42. Производная логарифмической функции

Покажем сначала, что логарифмическая функция дифференци­руема в каждой точке. Графики функций у = logo* и у = а^х сим­метричны относительно прямой у=х. Так как показатель­ная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет не­горизонтальную касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет невертикальную касательную в любой точке. А это равносильно дифференцируемости логариф­мической функции на ее области определения.

Докажем теперь, что производная логарифмической функции для любого х из области определения находится по формуле

о

По основному логарифмическому тождеству х = е^{1п х} при всех поло­жительных х, т. е. в этом равенстве справа и слева стоит одна и та же функция (определенная на /?+). Поэтому производные х и е^1пх равны, т. е.

л^=(в^1пх)'. (2)

Известно, что х' = \. Производную правой части вычисляем по правилу нахождения производной сложной функции и теореме

1 (п. 41): (е^1пх)' = е^1пх In⁷ х=х In' х. Подставляя найденные про­изводные в равенство (2), находим 1 =лг In' дс, откуда \п' х=-^~.

О П р и м е р 1. Найдем производные функций: а) у=\п (5 + 2х);

б) У = log₃*; в) у = log₇ 2*.

а) (ln(5+2*)y=_Tl_5r.(5 + 2*)'=-_gJ₅-;

б) (1овз*)'=(-£Нг)'=^з-;

в) (\og₁2_Xy=(_y-^-)'=-^_T=^_pr.

Пример 2. Исследуем функцию f (х)=х² In х на возраста­ние, убывание, экстремум и построим ее график.

Функция определена при х>0. Найдем ее производную:

f (х)=2х In х-±-х²--^-=2х In х-\-х = 2х(^\п *+-£-) • х>0, поэтому знак производной совпадает со знаком^In *+■£").

Отсюда следует, что /' (х)>0 на промежутке (; оо), и поэтому

'‘V^е

на промежутке Г-р;) функция возрастает; на промежутке L -у/е '

(О; -р) производная отрицательна, поэтому f убывает на проме-

V -уе'

жутке (0; —1. В точке -производная меняет знак с минуса на

V -у/е J л[е

плюс, значит, это точка минимума; f(^=) = ~График функции

приведен на рисунке 145. ф

Формула (1) показывает, что для функции — на промежутке

(0; оо) любая первообразная может быть записана в виде In лг + С.

Функция -j- имеет первообразную и на промежутке (—оо; 0), это функция 1п(— х). Действительно,

(In 1)=—7’

Так как 1 л:| = л: при х>0 и |л:| = —х при лсО, мы доказали, что на любом промежутке, не содержащем точку 0, первообраз­ной для функции — является функция In \х\.

ОПример 3. Для функции —первообразные равны

X т О

In |х + 3| +С (на любом промежутке, не содержащем точку —3). Для функции общий вид первообразных In |5а:+ 714-