Определение. Функция, заданная формулой f {х)—ха, на­зываетсястепенной(с показателем степени а)

Если а>0, то степенная функция определена и при х = 0, по­скольку 0“ = 0. При целых а формулой f (х)=х^а степенная функ­ция f определена и для х<0. При четных а эта функция чет­ная, а при нечетных а — нечетная. Поэтому исследование сте­пенной функции достаточно провести только на промежутке (0; оо).

В предыдущих разделах курса были получены формулы для производной функции у=х^а лишь при целых показателях сте­пени, а также а = -^-. Теперь нам остается вывести формулу

при произвольном а. Докажем, что для любого х из области определения производная степенной функции находится так:

(х^а)' = ах^а~¹.

Действительно, так как х = е^1пж, то х^а = е^а1пх. Отсюда по пра­вилу вычисления производной сложной функции получаем:

(х^ау = (е^а,пХУ = е^{а 1п х} (а 1 п х)' = х^а • а •—= ~¹.

Формула (1) доказана.

При а<0 степенная функция убывает на промежутке (0; оо), поскольку (х^ау = ах^а~¹ <0 при х>0. При а>0 имеем (*“)' = = ал:^а-1>0, поэтому степенная функция возрастает при х>»0. Кроме того, надо учесть, что при x = 0 степенная функция равна 0 и х^а -►■О при х —Ч) и х> 0. Поэтому точка 0 присоединяется к про­межутку возрастания, т. е. при а>0 степенная функция возра­стает на промежутке[0; оо). Примеры графиков степенной функции при различных а приведены на рисунке 147.

Из формулы (1) следует, что производной степенной функции f (х) = х^а является степенная функция (/' (л:) = aл:^a-,). Иначе обсто­ит дело с первообразной степенной функции.

При аф — 1 общий вид первообразных степенной функции

При а= — 1, как известно, первообразной функции f является функция /^г(л:) = 1п Ul-f-C.

2. Вычисление значений степенной функции. Выведем прибли­женную формулу

(1 + Лх)“ «1 аЛх. (2)

Рассмотрим функцию f (х) = х^а и воспользуемся приближенной формулой

f (х) ж f (х₀) + /' (х₀) Дх, (3)

известной из п. 20, при хо= 1 и х= 1 -{-А*- Имеем f (xo)=f (1) = 1 и У (х) = ах“^_|, откуда /' (х₀) = /' (1) = а- Г^-1 =а. По формуле (3)

f (х)=(1 +Дх)^а«1 -\-akx.

Чаще всего эту формулу применяют для вычисления корней. Полагая а=—, находим:

П

VT+A^=(l + A*)^T»l+^-. (4)

О Пример. Вычислим приближенные значения: a) VH68;

б) V27763; в) ‘VIООО.

Воспользуемся формулой (4):

а) VH08 —(1 +0,08)⁴ «1 +-|—0,08 = 1,02;

б) да. +^) =3-V^f «з(. *

«3,0011. (Значение ^/27,03 с восемью знаками после запятой тако­во: 3,0011107.)

в) Заметим, что 2^|0=Ю24. Имеем:

^lVT000=^l^^!r^=2.^lY^|i«2(l-_T^)«1,995. •

Упражнения

Постройте график функции / и найдите ее производную (558—559).

558. а) / (лг) = л:^ ²; б) /(х) = х^л'³; в) f(x) = x~³; г) f (х) = х~^.

559. a) f{x) = x~^e; б) f (х) =(~) ~** \

\ j у

в) /(*) — X^я; г) / () ---= i 2хг"*"

Вычислите с помощью формулы (4) приближенные значе­ния (560—561).

I

560. а) 24³; б) V625-3; в) Щ; г) V48-

561. a) V30; б) V90; в) л/^02; г) Щ.

562. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на промежутке /:

2 4

а) /(*)=х^т, /=[ 1; 32]; б) f(x)=x~^T, /=[-Ь 27];

в) }(х)=х-\ /=[-Ь 1 ]; г) /(*)=*\ /=[^-; 81 ].

563. Найдите общий вид первообразных для функции:

а)/(*)=--б)

в) f(x) = 3x~¹', г) f(x) = x^e.

564. Вычислите интеграл:

4 _5 Я «?* ⁸¹

a) \x²dx\ б) $, в) J 2лг“^,^л:; г) $ Ъх^Айх.

1 I -о- в 16

х*

565. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у=х^ы\ у = 0, х=\\ б) у=х^³, У=-^~, ^x=~y>

в) у = х~^0,8, у = 0, х=\, а: = 32; г) t/ = 0, лг= 3, х = 5.

566. На миллиметровой бумаге постройте графики функций у=л[х, У=\[х, У = ух (а>0).

1) Найдите с помощью графика приближенные значения: a) V2, V3; б) V3, ^5; в) ^5, ЦЗ; г) л^5, V2-

2) Найдите значения этих корней с помощью калькулятора.

3) Вычислите их приближенные значения, пользуясь форму­лой (4). У к а з а н и е: 2,5= 1,6² —0,06; 2,5= 1,3³-+-0,303;

2,5=1,25⁴+^; 2=1,4² + 0,04; 3= 1,4³ +0,256, 3 =

= 1,3⁴ = 0,1439.

4) Сравните полученные результаты.

567. Вер но ли, что функция f(x) = х^ обладает свойством:

а) в области определения можно найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков;

б) является четной; в) имеет экстремумы;

г) существует точка аго, в которой функция принимает наи­меньшее значение.

44. Понятие о дифференциальных уравнениях

1. Непосредственное интегрирование. В ходе решения задач естествознания часто возникают соотношения, связывающие про­изводные некоторой функции (первую, вторую и т. д.), саму эту функцию и независимую переменную. Например, согласно второму закону Ньютона при движении по прямой материальной точки пос­тоянной массы т справедлива формула F = ma, где F — сила, вызывающая движение, а — ускорение точки. Пусть сила F зави­сит только от времени t, т. е. F = F(t). Вспоминая, что ускорение есть вторая производная координаты по времени (a(t)=x" (/)), по­лучаем дифференциальное уравнение относительно функции х (/):

F (t) = тх" (/), т. е. x"(t)=-^-_t

для решения Kotoporo сначала находим х' (t) как первообразную

F (t)

функции а затем и x(t) как первообразную функции v (/) =

=х' (t). Общее решение зависит от двух произвольных постоянных. Для того чтобы их найти, обычно задают координату и скорость в какой-либо момент времени t.

ОПример 1. При вертикальном движении под действием си­лы тяжести координата h(t) точки единичной массы удовлетворя­ет дифференциальному уравнению (ось Oz направлена вертикаль­но вниз):

h" (0⁼S'-

Общее решение этого уравнения имеет вид:

h(t) = h₀ + vot+%L_t где ho = h(0), v₀ = v(0).

Задав ho и Vo, мы получим уже единственное решение, ф

Вообще первообразную F для функции f можно рассматривать как решение простейшего дифференциального уравнения

F'(x) = f(x), (1)

где f (х) — данная функция, F (х) — решение этого уравнения.

2. Дифференциальное уравнение показательного роста и пока­зательного убывания. Решение многих задач физики, техники, биологии и социальных наук сводится к задаче нахождения функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению

f'(x) = kf(x), (2)

где k — некоторая константа.

Зная формулу производной показательной функции, легко до­гадаться, что решением уравнения (2) является любая функция вида

где С — постоянная. Так как С произвольно, у дифференциаль­ного уравнения (2) бесконечно много решений.

Докажем, что других решений, кроме функций вида (3), урав­нение (2) не имеет. Для этого рассмотрим произвольную функцию /, удовлетворяющую уравнению (2), и вспомогательную функцию

g{x)=f(x)e~^kx. (4)

Найдем ее производную:

g' (*)=/' (*) e~^kx-+-f (х) (e~^kx)^f = f' (х) e~^kx — kf (х) е~^кх. Подставляя kf (х) вместо f'(х) из уравнения (2), получим: g' (л:) = kf (х) e~^kx — kf (х) е~^кх = 0.

Из равенства производной функции g нулю следует, что g (х)=С при всех х. Из (4) получаем:

f (х) е~^кх = С, откуда f (х) = Се^кх,

что и требовалось доказать.

Замечание. В приведенных выше рассуждениях мы пред­полагали, что функция f определена и удовлетворяет уравнению (2) на всей числовой прямой. В конкретных задачах часто при­ходится рассматривать функции, удовлетворяющие уравнению (2) только на некотором промежутке. Естественно, что в таком случае формула (3) будет давать общее решение задачи только на промежутке, на котором выполняется уравнение (2).

Смысл дифференциального уравнения (2) заключается в том, что скорость изменения функции в точке х пропорциональна значению самой функции в этой точке. Это уравнение часто встречается при решении практических задач.

ОПример 2. (Радиоактивный распад.) Пусть в начальный момент времени масса радиоактивного вещества равна:

т (0) = то- (5)

Экспериментально установлено, что скорость уменьшения массы вещества т (t) со временем t пропорциональна его количеству, т. е. т' (t)= —km (/), где k>0. Как показано выше, т (t)=Ce~. Константа С находится из условия (5). А именно при / = 0

то = т(0) = Се~^к'°, т. е. С = т₀.

Окончательно получаем:

m(t) = m₀e~^kl. ф (6)

Рассмотренный пример типичен: чтобы выделить из бесконеч­ного числа решений дифференциального уравнения одно, обыч­но требуется еще ввести начальные условия (в нашем случае это условие (5)).

Промежуток времени 7*, через который масса радиоактив-

ного вещества уменьшается в 2 раза, называют периодом полурас­пада этого вещества. Зная Т, можно найти k. Так как

m(7’)=^-m₀, т. е. m₀e^-fcr=-^- m₀,

KT 1

имеем е =—.

Следовательно, e^kT = 2, kT = \n 2, откуда k =

Например, для радия Т«1550 лет. Поэтому (если время изме-

In 2

ряется в годах) 0,000447. Через миллион лет от на­

чальной массы радия то останется только m (10⁶)«moe~⁴⁴⁷ ~ «0,6* 10^-,94mo.

3. Гармонические колебания. Производную от производной f' функции f называют второй производной функции f и обозначают f" (читается: «Эф два штриха»). Например:

sin' *=cos х, sin" x=cos' x= — sin x, cos' x = — sin x, cos" x= — sin' x= — cos x. ' '

Вторая производная помогает более подробно исследовать поведение функции. Первая производная есть скорость изменения функции, а вторая производная есть скорость изменения этой скорости.

Анализируя формулы (7), можно заметить, что вторые произ­водные синуса и косинуса отличаются от самих функций только знаком. Иначе говоря, обе эти функции удовлетворяют при всех значениях аргумента t уравнению

Г (0= —/(О-

В физике, в частности в механике, большую роль играют функции f, которые удовлетворяют уравнению

г«=-®т (8)

где о — положительная постоянная.

Разберем задачу из механики, приводящую к уравнению тако­го вида. Пусть к шарику массой m прикреплена расположен­ная горизонтально пружина, другой конец которой закреплен (рис. 148), и пусть в состоянии равновесия координата х центра шарика равна нулю. При перемещении центра в точку с коорди-

ibdwwuuLr#

О X О X

Рис. 148 Рис. 149

натой хфО возникает сила, стремящаяся вернуть шарик в по­ложение равновесия. Согласно закону Гука эта сила пропорцио­нальна перемещению х, т. е. F=—kx, где k — положительная константа (см. рис*. 149). По второму закону Ньютона F = ma, поэтому, учитывая, что при движении по прямой ускорение есть вторая производная от координаты, имеем:

та (t) = mx" (t) = F, т. е. х" (/) = —^ х (/).

Иначе говоря, движение центра шарика под действием сил упругости подчинено уравнению (8) при •

Покажем, что физическая величина, изменяющаяся во вре­мени в соответствии с уравнением (8), совершает гармоничес­кое колебание (см. п. 7). Само уравнение (8) называют диффе­ренциальным уравнением гармонических колебаний.

Проверим, что при любых постоянных А и <р функция

f (t)=A cos (со/ + ф) (9)

есть решение уравнения (8). В самом деле, пользуясь формулой для производной сложной функции, получаем:

/' (/) = —Лео sin (со/ + ф),

/" (/) = — А со² cos (со/ + ф) = — со²/ (/).

Верно и обратное: любое решение уравнения (8) есть функ­ция вида (9), причем обычно выбирают А^О, ф£[0; 2л]. Дока­зательство этого выходит за рамки школьного курса.

Произвольные постоянные А и ф можно определить, если за­даны начальные условия f(Q)=yo_t f'(0)=i>o- V 4. Падение тел в атмосферной среде. Рассмотрим более слож­ный пример. При падении тел в атмосфере нужно учитывать сопротивление воздуха. Экспериментально установлено, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движения, т. е. сила F, действующая на тело, равна F (t) = mg — kh^f (/), где т — масса тела, g — ускорение свободного падения, h (/) — коор­дината на прямой (ось Oh направлена вертикально вниз), k — коэффициент пропорциональности. По второму закону Нью­тона F=ma, поэтому получаем уравнение

mz"(/)=mg — kz' (/), т. е. z" (t)=g--^-z' (/),

которое удобно рассматривать как дифференциальное уравнение

v'(t)=g — bv(t), где Ь = -^>0, (10)

относительно скорости движения v (t)=z' (t). Для того чтобы при­вести это уравнение к знакомому виду, введем новую неизвестную

функцию y{t)~~—v (/), тогда 1—inf)) =— v'(t)

и уравнение (10) записывается в виде

— y'(t) = by(t), т. е. у’ (t)=—by(t), решения которого уже известны: y(t)=Ce~^bt. Следовательно, v(t)=f-y(t)=f~Ce~^b‘.

Функция у = е~^ы убывает на R, при этом ее значения неогра­ниченно уменьшаются при возрастании t (т. е. Се~^ы-+0 при /-*- со для любого С). Это означает, что скорость приближается к по­стоянному значению -|-, которое зависит от величины коэффициен­та пропорциональности k и массы т. Например, при затяжных прыжках (парашют не раскрыт!) эта скорость равна примерно 50 м/с, а скорость парашютиста при приземлении (когда k значи­тельно больше) около 4—5 м/ч. А

Рассмотренные примеры позволяют понять, насколько мощным аппаратом исследования являются дифференциальные уравнения. Очень часто элементарные законы, управляющие каким-либо про­цессом, записываются в виде дифференциальных уравнений. Для того чтобы выяснить, как процесс развертывается во времени, при­ходится эти дифференциальные уравнения решать.

Упражнения

568. Проверьте, что функция y(t) является решением данного дифференциального уравнения:

а) y(t) = 3 cos л), у"=—4у\

б) y(0=4sin(-i-/—§-), у"=-±-у\

в) у (t)=2 cos 4/, у" + \6у = 0\

^г) y(t)=-j-sin(0,\t+\), t/" + 0,01</ = 0.

569. Докажите, что функция у = Ъе^3х удовлетворяет уравнению У' = 3*/.

570. Докажите, что функция у = 7е ^2х удовлетворяет уравнению У'=~2у.

571. Докажите, что функция у = Зе удовлетворяет уравнению у'=—7у.

572. Найдите какое-нибудь отличное от нуля решение дифферен­циального уравнения:

а) у" = — 25у; б) ±-у" + *у= 0;

в) 4у" + 16у=0; г) у" = -~у.

574. Докажите, что сумма двух гармонических колебаний Х\ {t) = A| cos (cl»i/Ф1) и X2 (t) = A₂ cos (0)2/ + фг) будет пе­риодической функцией тогда и только тогда, когда отношение

0)1

частот есть рациональное число г, т. е. -±—г.

575. От т миллиграммов радия С через t минут радиоактивного распада осталось п миллиграммов. Найдите период полурас­пада радия С.

576. К началу радиоактивного распада имели 1 г радия А. Че­рез сколько минут его останется 0,125 г, если его период полураспада равен 3 мин?

577. Период полураспада радиоактивного вещества равен 1 ч. Через сколько часов его количество уменьшится в 10 раз? Вычислите, какая доля радия останется через 1000 лет, если период его полураспада равен 1550 лет.

578. Одно тело имеет температуру 200°, а другое 100°. Через 10 мин остывания этих тел на воздухе с температурой 0° первое тело остыло до температуры 100°, а второе — до 80°. Через сколько минут температуры тел сравняются? (Температура тела T(t) удовлетворяет уравнению T'(t) = = — k (Т — Ti), где Т\—температура окружающей среды.)

579. Два тела имеют одинаковую температуру 100°. Они вынесе­ны на воздух (его температура 0°). Через 10 мин темпера­тура одного тела стала 80°, а второго 64°. Через сколь­ко минут после начала остывания разность их температур будет равна 25°?

580. Моторная лодка движется по озеру со скоростью 30 км/ч. Ка­кова скорость лодки через 3 мин после выключения мотора? (Воспользуйтесь тем, что скорость лодки v (t) удовлет­воряет дифференциальному уравнению v'(t)=—kv(t\ где

и 5 _v

v — скорость в метрах в минуту.)

Сведения из истории

1. О происхождении терминов и обозначений. К умножению равных сомножителей приводит решение многих задач. Понятие о степени с натуральным показателем возникло уже в Древней Гре­ции (выражение квадрат числа возникло при вычислении площади квадрата, а куб числа — при нахождении объема куба). Но сов­ременные обозначения (типа а⁴, а⁵) в XVII в. ввел Декарт.

Дробные показатели степени и наиболее простые правила действий над степенями с дробными показателями встречаются в XIV в. у французского математика Н. О р е м а (1323—1382). Из­вестно, что Шюке (ок. 1445 — ок. 1500) рассматривал степени с отрицательными и нулевыми ^показателями. С. С т е в и н пред­ложил подразумевать под а" корень л[а. Но систематически рациональные показатели первым стал употреблять Ньютон.

Немецкий математик М. Штифель (1487—1567) дал опре­деление а°= 1 при аФ 1 и ввел название показатель (это бук­венный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень. (Отсюда происходит и слово по­тенцировать, часто употребляемое при переходах типа log„/(x) =

⁼⁼ logo g (х)=^ a'°^{eJ w}=a^log“^fi(jt).) В свою очередь термин exponenten возник при не совсем точном переводе с греческого слова, кото­рым Диофант обозначал квадрат неизвестной величины.

Термины радикал и корень, введенные в XII в., происходят от латинского radix, имеющего два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили: «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)». Знак кор­ня в виде символа У появился впервые в 1525 г. Современ­ный символ введен Декартом, добавившим горизонтальную черту Ньютон уже указывал показатели корней: У~, \]~.

Слово логарифм происходит от греческого Хоуоф (число) и apiv|iocp (отношение) и переводится, следовательно, как отно­шение чисел. Выбор изобретателем (1594 г.) логарифмов Дж. Не- иером такого названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое — геометрической (см. ниже). Логарифмы с основанием е ввел С п е й д е л (1619 г.), составивший первые таблицы для функции In х. Название более позднего происхождения натуральный (естественный) объясняет­ся «естественностью» этого логарифма. Н. Меркатор (1620— 1687), предложивший это название, обнаружил, что In х — это

площадь под гиперболой у=—. Он предлагал также название гиперболический.

2. Из истории логарифмов. В течение XVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычисле­ний в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (в частности, при определении положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно по­нять, при выполнении операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложе­нию (была составлена, например, таблица квадратов целых чисел от 1 до 100 000, позволяющая вычислять произведения по

формуле ab = (а -f Ь)²—^-(а — Ь)²) большого успеха не приноси-

Непер Джон

(1550—1617) — английский математик. Изобретатель лога­рифмов, составитель первой таблицы ло­гарифмов, облегчившей работу вычислителей многих поколений и оказавшей большое влияние на развитие приложений математики.

ли. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деле­ние чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобрета­тели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство — таблицы логарифмов,— резко повысившее производительность труда вычислителей. Доба­вим, что уже в 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания пер­вых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобре­тена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инстру­ментом для многих поколений. (Вплоть до самого последнего времени, когда на наших глазах повсеместное распространение получает электронная вычислительная техника и роль логарифмов как средства вычислений резко снижается.)

Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Н е п е р о м (1550—1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552—1632). В таблицы Непера, изданные в книгах под названиями «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619 г.), вошли значения логарифмов си­нусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 90° с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чи­сел, по-видимому, к 1610 г., но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамечен­ными.

Одна из важных идей, лежащих в основе изобретения ло­гарифмов, была уже известна. Штифель (1487—1567) и ряд других математиков обратили внимание на то, что умножению и делению членов геометрической прогрессии

..., а^-3, а~², а~\ 1, а, а², а³,...

соответствуют сложение и вычитание показателей, образующих арифметическую прогрессию

.... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,....

Но одной этой идеи недостаточно. Например, «сеть» целых степеней числа 2 слишком редка; многие числа «остаются без ло­гарифмов», поэтому необходима была еще одна идея: возводить в степень числа, очень близкие к единице. Заметив, что степе-

(

1 \^п / 1 \^п+*

1+^J и при больших значениях п близки,

Непер и Бюрги приняли аналогичное решение: Непер брал в ка­честве основания число ^1—* ^а Бюрги — число (l+yjj*)-

Дальнейший ход их рассуждений и описание схем вычислений пересказать довольно трудно как потому, что имеется много непростых деталей, так и потому, что вообще тексты XVI в. довольно туманны. Заметим только, что фактически далее Непер

переходит к основанию ^1—^а Бюрги — к основанию '°⁴ Это не изменило существа дела (как вам известно,

(^|+н0

loga¹⁰" •^X'⁼⁼f^ l°ga х, и поэтому указанные переходы приводят лишь

к переносу запятой в логарифме), но позволило несколько упрос­тить вычисления и сами таблицы.

Таким образом, по существу оба изобретателя логарифмов пришли к выводу о целесообразности рассмотрения степеней ви-

да ^ 1 ^гД^е М очень большое число. Рассмотрение чисел

такого вида приводит к известному вам числу е, которое определя­лось как Пш(1-}-—) (определение предела последовательности

П-*- оо \ Я /

дано в «Сведениях из истории» к главе III). Осталось уже немного до идеи принятия в качестве основания логарифмов числа е (ос­нование таблицы логарифмов Бюрги совпадает с точностью до третьего знака с е, основание таблицы логарифмов Непера близко

к числу.

Первые таблицы десятичных логарифмов (1617 г.) были со­ставлены по совету Непера английским математиком Г. Бриг­гсом (1561 —1630). Многие из них были найдены с помощью выведенной Бриггсом приближенной формулы

i_nr n(\la- 1)

logю —,

m (л/ТЬ — 1)

достаточно точной при больших значениях тип. Бриггс брал значения т и п в виде степеней двойки: это давало ему возмож­

ность свести вычисление л[а и ^!у[\0 к последовательному извлече­нию квадратных корней.

Другая идея Бриггса позволяет находить значения десятич­ных логарифмов некоторых чисел самостоятельно, без помощи таблиц. Целая часть логарифма целого числа на единицу мень­ше количества цифр в самом числе. Поэтому, например, для на­хождения lg 2 с точностью до трех знаков достаточно найти число цифр 2^|0\ Это не очень трудно.

При составлении таблиц логарифмов важную роль сыграло найденное Непером и Бюрги соотношение между приращениями Ах и Ду в произвольной точке лс₀ для функции y = \og_ax. Отвле­каясь от деталей их системы изложения, основной результат можно

выразить так:, где k — некоторая постоянная. Если осно-

Ах х. 1 \^п

вание логарифмов — степень (1 -\- J, где п — достаточно боль-

Ау 1 шое число, то -г-ж—.

Ах X

Устремляя Ах к нулю, приходим к дифференциальному урав­нению ty'—решением которого, как вы знаете, является

функция 1пх-+-С. Существует система изложения, при которой

*0

In х₀ с самого начала определяется как § —, т. е. In х₀ — пло-

1 *

щадь криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой, осью аб­сцисс и прямыми х — 1 и х = Хо. Вывод известных вам свойств логарифмов, исходя из этого определения, не очень простая, но доступная вам задача.

Вопросы и задачи на повторение

1. 1) Дайте определение корня п-й степени из числа. Что такое арифметический корень п-й степени?

2) Найдите значение:

а) У-27; б) \Щ\ в) 128; г) д/gj-; д) СУ*)".

3) Решите уравнение:

а) х³=125; б) х⁴ = 64; в) х⁵=—; г) х⁴ = — 16.

2. 1) Перечислите основные свойства арифметических корней.

2) Преобразуйте выражение:

_а) Щ.У4-, _б) Ш; _в) (Щ.у, _Г)Л/2Е.

3) Какое из чисел больше:

а) УГ28 или V^; б) 2¹⁰⁰ или 1 ОО²⁰;

в) V26 или Уб; г) У5 или Уз?

3. 1) Дайте определение степени с рациональным показате­лем и перечислите основные свойства таких степеней.

2) Найдите значение:

^а> ((f)³) ^{2; б}> V64:2^.(2 в) нГ^т; г) (|L) ⁴.

3) Какое из чисел больше:

— _ — — — а) УГб или 2⁴; б) 3 ³ или 9 ⁴;

4 4 2

в) 0,3 ⁷ или 0,3~⁷; г) или 5"⁰’⁶?

4. 1) Перечислите основные свойства показательной функции.

2) Постройте график функции:

а) у = 4^х; б) У=(-\~); в) */ = 6^х; г) */=(-£-).

а) 2^0,4 или 2^a; б) 1,2 ^ или 1,2^;

О (-J-) или; г) 0,3 ^я или 0,3 ³?

5. 1) а) Найдите корни уравнения а^х=а^с(а>0, аф 1).

б) Решите неравенство а^х>а^с (рассмотрите два случая: 0<а< 1 и а> 1).

2) Решите уравнение:

а) 27^х = 9^Ъ; б) 9^x+l + З^х+2 = 18;

в) 0,5^х2+х"²'⁵=У2; г) 3*⁺² — 3* = 72.

3) Решите неравенство:

a) б) 0,2*^2_2>5; в) 3'<-±-; г) (-±-)'⁺'>4.

6. 1) Дайте определение логарифма числа.

2) Найдите:

a) log₂ 16 У2; б) logo.2 25; в) lg 0,01; г) log j_ д/3.

з

3) Запишите основное логарифмическое тождество. С его по­мощью вычислите:

j Ч 1 + log^

в

(

, v 1 -h iOg-W

; в) 5-^{1 + log}s²; г) 0,2^{1 + log}o,₂5.

7. 1) Перечислите основные свойства логарифмов.

2) Прологарифмируйте по основанию а выражение (с>0, Ь> 0):

а) 16Ь⁷ §Jc при а = 2; б) —=— при а = 10;

^{7 v} V»o6 ь^п

v 27л[Ь о » 0,49b³ „ ₇

в) —— при а = 3; г) —¹—— при а = 0,7.

с⁴ с⁵ V^е

a) log₃ * = 2 log₃ 7 + -|-log₃ 27—|-log₃ 16;

б) log₂x = 2 log₂ 5 — -|-log₂ 8-flog₂ 0,2;

в) logs x = log₅ 1,5 -f^_-^~log₅ 8; r) lg*=l+2 1g3—§-lg 125.

8. 1) Дайте определение логарифмической функции и перечисли­те ее основные свойства.

2) Постройте график функции:

а) у = log₄*; б) y = \og₁{x—\);

в) */ = logs л:; г) у= log^x-f 1.

3) Какое число больше:

а) lg 7 или 3 lg 2; б) log i 5 или log i 6;

з ¥

в) log₃ 5 или log₃ 6; г) log₂ 3 или log₃ 2?

3) Найдите общий вид первообразных для функции:

a) v(x) = e^bx-7e-*^x\ б) и (x) = 5e^0Jx;

в) g(_x) = e -^3x; г) f(x)^e^2x.

11. 1) Какую производную имеет функция y=\og_ax? Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = -^~.

2) Найдите производную функции:

а) у = х 1п Зх; б) у — log₂ (7 — 2х); в) у = 2 log₃ а; г) у = In

3) Найдите общий вид первообразных для функции:

а) б) g (х) = ——тг; в) и{х) = -±-\ г) Л(а)=-²

Ьх ' ' ь, \ j _х — з> / _х > / ч/ д. _j_ 1 ■

12. 1) Какую производную имеет степенная функция у = х^а?

2) Постройте график функции и найдите ее производную:

а) у = х‘\ б) у — х~^А\ в) у = х~°'³\ г) у = х ^Л'².

3) Найдите приближенное значение:

а) У32,02; б) УГ27>9; в) Уб4~Д г) \Щб.

13. 1) Какие уравнения называют иррациональными?

2) Решите уравнение:

а) д/а —3 — 2х — 7; б) У2а + 3=2;

в) А' —д/х =12; г) а-|-3 = д/33 + х².

3) Решите систему уравнений:

a) f д/х —д/у = 3, б) Г A + t/ — Va// = 6,

\ А —у = 9’, I

■у = 9; I а//= 16;

в) / д/х + д/у = 4, г) (A² + t/ = 7,

\ а —1/ = 8; \ a“t/ = 12.

14. 1) Что называют решением системы двух уравнений с двумя переменными?

2) Решите систему уравнений:

а) { х-3у = 5, б) Г 5²*~^у = 0,2,

j ₂е,-x ₌ J_. \ 5^—=125;

в) (2ху — 9, г) Г 3^ЗА+У = у3,

1 4^х ^=1; I 5а — 4г/ = 15.

3) Решите систему уравнений:

Г a —t/ = 4, б) (3^Л'~^2у= 1,

^а) I log₂ a—log₂t/= 1; I lg A + lg(y + 5) = 2;

в) f log;, (5a — f/) = 2, г) Г A²-l-ty² = 26,

I At/= 2; ilog₅A= 1-flogs t/.

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1. Рациональные и иррациональные числа

1. Верно ли утверждение:

а) если натуральное число делится на 6, то оно делится на 3;

б) если сумма двух чисел — четное число, то каждое слага­емое четно;

в) если произведение двух чисел равно нулю, то каждый сомножитель равен нулю;

г) если куб некоторого числа делится на 8, то это число четно?

2. Докажите, что сумма трех последовательных натуральных чи­сел делится на 3, а их произведение — на 6.

3. К числу 523 допишите две цифры справа так, чтобы полу­ченное пятизначное число делилось на: а) 3 и 5; б) 8 и 9.

4. Докажите, что число 10⁵⁶— 1 делится на 3 и 11.

5. В двузначном числе цифра единиц на 2 больше цифры десят­ков. Само число больше 30 и меньше 40. Найдите это число.

6. Докажите, что если дробь -у несократима, то несократима

- ab И Дробь

7. Докажите, что:

а) \а\ = \—а\\ б) в) \х\² = х².

Найдите значения выражений (8—9).

2,75:1,1+3^-

8. а)

/>

10. Укажите верные цифры в записи приближенного значения

числа:

а) 3,82dt0,1; б) 1,980-10⁴±0,001-10⁴;

В) 7,891 ±0,1; г) 2,8-10~4±0,3-10~4.

11. Пользуясь формулой (1 + х)^п «I + пх, вычислите прибли­женно: