В)Wи61,7; г) (i-)3и УХ

437. Найдите значения выражения:

^а> ³-ш *

-¹ 1 _,1

б) 0,001 ^т —(— 2)~²64³ —8 ³ +(9⁰)²;

- / 1 \ -°>^{75 В}> ²⁷³ +Ш -²⁵°-⁵:

* 2

г) (- 0,5)-⁴ - 625^0,25 -(2 -J-) + 19 (- 3)-³.

438. Упростите выражение: а) +

^^a+l а³ +3а ³ & ³ +96 ³

ч /_____ 1________ /п²+4 \ / m_________ 1__ |_ Д\

V т + д/2 т³ + 2д/2' \ 2 -^2 т /

439. Представьте выражение в виде степени с рациональным

показателем:

а) -^-У2⁵*ш:³; б) д/а²

в) V^*V^; г) - д/27 Vx.

440. Представьте выражение в виде корня:

— — А А _2 Л ²

а) 3*2 ⁵; б) а^{4 5}; в) 26 ³; г) 6³с⁷.

441. Сравните числа:

a) (V3f^T и л/з-'дД-; б) З⁶⁰⁰ и 5'⁰⁰;

в) ^и л/2-2'⁴; г) 7³⁰ и 4⁴⁰.

442. Имеет ли смысл выражение:

_! — _1 а) (-3) ⁷; б) (— 2)“⁴; в) 5³; г) 0 ⁷?

443. Найдите область определения выражения:

— В. 1 _ _з 2_

а) (х+1) ⁷; б) х⁵; в) х ⁴; г) (х— 5)³.

444. При каких значениях переменной верно равенство:

§ 10. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

35. Показательная функция

1. Степень с иррациональным показателем. Зафиксируем по­ложительное число а и поставим в соответствие каждому числу

т

число а^п. Тем самым получим числовую функцию f(x) = a^x,

определенную на множестве Q рациональных чисел и обладающую перечисленными в п. 34 свойствами. При с—1 функция f(x) = a^x постоянна, так как 1*=1 для любого рационального х.

Нанесем несколько точек графика функции у = 2^х, предва­рительно вычислив с помощью калькулятора значения 2^х на отрез­ке [—2; 3] с шагом ~ (рис. 132, а), а затем с шагом -j- (рис. 132, б).

4 8

Продолжая мысленно такие же построения с шагом -^-и т. д.,

мы видим, что получающиеся точки можно соединить плавной кривой, которую естественно считать графиком некоторой функ­ции, определенной и возрастающей уже на всей числовой прямой

т

и принимающей значения 2^п в рациональных точках х — (рис. 132, в). Построив достаточно большое число точек графика

функции у=^—^, можно убедиться в том, что аналогичными свойствами обладает и эта функция (отличие состоит в том, что функция y=(^-^j убывает на R.

Эти наблюдения подсказывают, что можно так определить числа 2“ и Для каждого иррационального а, что функ-

(

^Х

_I_J, будут непрерыв­ными, причем функция у = 2^х возрастает, а функция

убывает на всей числовой прямой.

Опишем в общих чертах, как определяется число а^а для иррациональных а при 1. Мы хотим добиться того, чтобы функция у = а^х была возрастающей. Тогда при любых рациональ­ных г\ и г₂, таких, что пСаОг, значение а^а должно удовлет­ворять неравенствам а'¹ <.а^а<а^Г2.

Выбирая значения г\ и г₂, приближающиеся к х, можно заме­тить, что и соответствующие значения а'¹ и а'² будут мало отли­чаться. Можно доказать, что существует, и притом только одно, число у, которое больше всех а^г1 для всех рациональных г\ и меньше всех а'² для всех рациональных г₂. Это число у по определению есть а^а.

Например, вычислив с помощью калькулятора значения 2^х в точках х_п и х'„, где х_п и х'_п — десятичные приближения числа х=УЗ, мы обнаружим, что, чем ближе х_п и х'_п к д/3, тем меньше отличаются 2^х* и 2*\

Так как 1<д/3<2, то

2' = 2<2^<2²=4.

1,7<д/3<1,8 и, значит,

2^{1 >7} «3,2490096 < 2^ < 2^{1 >8} «3,4822022.

Аналогично, рассматривая следующие десятичные приближе­ния д/3 по недостатку и избытку, приходим к соотношениям:

2¹⁷³«3,3172782 < 2^ < 2¹⁷⁴ «3,3403517;

2^1,732 «3,3218801 <2^<2^1,733» 3,3241834;

2¹⁷³²⁰«3,321801 <2^V3<2¹-⁷³²¹ «3,3221104;

₂ i. ⁷³²⁰⁵ _ зз 219952 < 2^ < 2' •⁷³²⁰⁶ «3,3220182;

₂i.732050 _ _3>3219952 < 2^< 2¹-⁷³²⁰⁵*«3,3219975.

Значение 2вычисленное на калькуляторе, таково:

2^ да 3,321997.

Аналогично определяется число а^а для 0<а<;1. Кроме того, полагают 1^а=1 для любого а и 0^а=0 для а>0.

2. Свойства показательной функции.

Определение. Функция, заданная формулой у=а^х (где а>0, аф\), называется показательной функцией с основани­ем а.

Сформулируем основные свойства показательной функции (их доказательство выходит за рамки школьного курса).

1. Область определения — множество R действительных чисел.

2. Область значений — множество R+ всех положительных действительных чисел.

3. При а> 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<a< 1 функция убывает на множестве R.

Графики показательных функций для случаев а> 1 и0<а<1 изображены на рисунках 133—134.

4. При любых действительных значениях х и у справедливы равенства

а^ха^у = а^х+у\ ^-=а^х~^у\

а^у

(aby=cfb^x; (f)*-£:

(а^х)^у = а^ху.

Эти формулы называют основными свойствами степеней. Свойства 3 и 4 означают, что для функции у = а^х, определен­ной на всей числовой прямой, остаются верными свойства функ­ции у — а^х, которая сначала была определена только для рацио­нальных х (см. свойства 1° — 7°, п. 34).