Упражнения. 445. Перечислите свойства функции и постройте ее график: а) у = 4х; б) у = 0,2"; в) у = 0,7х-, г) у = 2,5".

445. Перечислите свойства функции и постройте ее график: а) у = 4^х; б) у = 0,2"; в) у = 0,7^х-, г) у = 2,5".

446. Найдите область значений функции:

а) у=— Т\ б) У=(-$-) +1; в) у= — (^-); г) у = 5^х —2.

447. Сравните числа:

^а) (- 7 ”) ^и 1; б) 3-^ и ( 4 -)“;

V5 \_

в) 2,5-^ и 1; г) 0,3^ и 0,3³.

448. Вычислите:

а) ((л/2)^; б) 3'-2V5.₉i+V3_{; в) 8}V2_;2³V5. _г) (₃^)fc

Упростите выражения (449—450).

449. а); б) х^л-Ух²:х^Ал',

в) (а^; г) у^-у¹'³:\[у^.

ДСП _я\,.. (^q2V5~¹)(^^2V5 + ^ + a³^).

451. Вычислите с точностью до 0,1 (пользуясь таблицами или калькулятором) значения:

а) 10^м1 и 10^м2; б) 10^мм и 10^м'⁵;

в) 10²-²³ и 10²-²⁴; г) 10²'²³⁶ и 10²-²³⁷.

452. Пользуясь полученными в задаче 451 результатами, най­дите значения 10^ и Ю^⁵ с точностью до 0,2.

453. Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая — убывающей на множестве R:

а) у=(^)\ 6) у=(ф-2Г, у=^

454. Найдите область значений функции:

а) у = 3*⁺¹—3; б) у= |2‘-2|; в) у=(-±-)‘ ' + 2; г) у=4^ы.

455. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на /?'.

(

, \ sinx

-L); б) у=5 + 3'“*';

| sin x|

456. Найдите знак корня уравнения:

a) (-i-)*=10; б) 0,3^х = 0,1; в) 10* = 4; г) 0,7* = 5.

г) 3-*=- —.

' X

459. Верно ли, что показательная функция f(x)=a^x:

а) имеет экстремумы;

б) принимает наибольшее значение в некоторой точке хо\

в) принимает в некоторой точке значение, равное нулю;

г) является четной (нечетной)?

36. Решение показательных уравнений и неравенств

1. Уравнения. Рассмотрим простейшее показательное урав­нение

а^х = Ь, (1)

где а>0 и аФ 1. Область значений функции у = а^х — множество положительных чисел. Поэтому в случае Ь< 0 или Ь= 0 уравне­ние (1) не имеет решений.

Пусть Ь>0. Функция у = а^х на промежутке (—оо; оо) воз­растает при а> 1 (убывает при 0<а<1) и принимает все по­ложительные значения. Применяя теорему о корне (п. 8), полу­чаем, что уравнение (1) при любом положительном а, отличном от 1, и b > 0 имеет единственный корень. Для того чтобы его най­ти, надо Ь представить в виде Ь = а^с. Очевидно, что с является решением уравнения а^х = а^с (рис. 134).

О П р и м е р 1. Решим уравнение 7^Х~² = У49.

Заметим, что 49 = 7², а У49 = 7³. Поэтому данное уравнение

можно записать в виде 7^Х_2 = 7³. Следовательно, корнями дан­ного уравнения являются такие числа х, для которых х — 2 =

=-|-, т. е. х = 2 -|-. Ответ: х = 2 -|-.

Пример 2. Решим уравнение 5^х*~^2х~¹ = 25.

Перепишем его в виде 5*^2-2*^-1 = 5². Корнями этого уравне­ния являются такие числа х, для которых х¹ — 2х—1=2. При­ходим к квадратному уравнению, корни которого — числа 3 и — 1. О т в е т: 3; — 1.

Пример 3. Решим уравнение 6^x+1 + 35-6^x_1 = 71.

Заметим, что 6^Х+1 = 36 • 6^{Х_ 1}. Поэтому данное уравнение можно записать в виде 36«6^X-1 + 35*6^X-I = 71, f. е. 71*6^Х~‘=71, откуда 6^х-1 =6°, х—1=0, х=\. Ответ: 1.

Пример 4. Решим уравнение 4^х — 5*2^х + 4 = 0.

Сделаем замену переменной t = 2^х. Заметим, что 4* = (2*)² = /². Поэтому данное уравнение принимает вид /² — 5/+ 4 = 0. Найдем решения этого квадратного уравнения: t\ = 1 и h — 4. Решая уравнения 2^х = 1 и 2^х = 4, получаем х = 0их = 2. Ответ: 0; 2. %

2. Неравенства и системы уравнений. Решение простейших показательных неравенств основано на известном свойстве функ­ции у = а^х: эта функция возрастает при а> 1 и убывает при

0 СаС 1.

ОПример 5. Решим неравенство 0,5^7-3*<4.

Пользуясь тем, что 0,5~² = 4, перепишем заданное неравен­ство в виде 0,5^7-3х<0,5^-2. Показательная функция у = 0,5^х убы­вает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное неравенство равносильно неравенству 7 — Зл:>—2, откуда х<.3. Ответ: (—оо; 3).

Пример 6. Решим неравенство 6^х’^+2х>6³.

Показательная функция у = 6^х возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х -\-2х>Ъ, решая которое, получим ответ: (—оо; —3) и (1; оо).

(

1 \* QO

—j —-дТ+l- Ь3<0.

Сделаем замену» тогда — t² и неравенство пе-

28 1 репишется в виде /²—г-^-|-3<;0, откуда —CtC9. Следова-

О о

тельно, решением данного неравенства являются числа х, удов­летворяющие неравенством '^■<(4") <9, и только такие числа.

Но, 9=(у), а функция убывает, посколь-

1 1/1\^х

ку —<1. Поэтому решением неравенства —<(—) <9 будут

числа х, удовлетворяющие неравенствам — 2<Zx<Z\. Ответ: (-2; 1).

Пр и м е р 8. Решим систему уравнений

(2^х + 2*=12,

\ 3^2х~^у = 3.

Из второго уравнения системы находим 2х — у= 1, откуда у = 2х—1. Подставляя вместо у в первое уравнение выраже­ние 2х—\, получим 2^х + 2^2х"¹ = 12, откуда 2^х4-2^2х = 12. Обо­значив 2^х через t, приходим к квадратному уравнению t²-\-2t—

— 24 = 0, откуда /, = —6; /2 = 4. Уравнение замены 2^Х=— 6 ре­шений не имеет. Корнем уравнения 2^х=4 является число х — 2. Соответствующее значение у равно 3. Ответ: (2; 3). ф

Упражнения

Решите уравнения (460—464).

460. а) 4*=64; б) (-i-V=27; в) 3*=81; г) (-Й*= 5 Г

«'• ^а> (4-)Чт)‘=§; ^б>

в) -#-7^=36; г) (-|-) =(-|-)

462. а) з⁶-=3³*-²; б),

в) Уз*=9; Г) 2^xJ+2x-°'⁵ = 4V2.

463.а) 7^х+2 + 4-7^х+, = 539; б) 2-З^х+1-З^х= 15; в) 4^х+,+4^х = 320; г) 3.5^х+3 + 2-5^Х+1 = 77.

х2+3,75.

464. а) 9^х—8*3*—9 = 0; б) 100^х-11-10*+ 10 = 0; в) 36^х—4-6^x—12 = 0; г) 49^х-8*7^х + 7=0.

465. Решите систему уравнений:

{ (=■--г, {«Г- ^ у-у+* = 27- К 79х~у=л{7.

. [ 4^Х+У = 16, ^ (6^3х-*=л/б,

а) \ и*+2«/-1__1. о)»

л/2 *

= 25,

в)

Решите неравенства (466—467).

466. а) (|)‘>27; б)

в) 0,2*<^-; г) (1,5)*<2,25.

467. а) 4⁵-^[21]*<0,25; б) 0,3⁷⁺⁴‘> 0,027; в) 0,4²*^+|>0,16; г) 3²-‘<27.

*> (тГЧт)‘>ж- ^г> ^з'⁺²+^з;;,'^<28'

474. а) п^х-п^2х^0; б) - 10-3“^x4-3<0; в) 4^х — 2^x+l — 8>0; г) (^-)^Х-5*6-^х-6<0.

475. Решите графически неравенство:

а) 2*<3-*; б) (-|У<2х+5;

^в) (т)*>^2л:+^1; г) 3*^i-x.

37. Логарифмы и их свойства

1. Логарифм. Вернемся к уравнению а^х = Ь, где а>»0 и аф 1. Как показано в предыдущем пункте, это уравнение не имеет решений при 6^0 и имеет единственный корень в случае Ь>0. Этот корень называют логарифмом b по основанию а и обозначают log_e Ь, т. е.

а}ч°ь _{= ь}.