Определение. Арифметическим корнем п-й степени из числа а называют неотрицательное число, я-я степень которого равна а

О Пример 2. Найдем значение: а) 3/8; б) ~\[^-

а) 3/8 = 2, так как 2³ = 8 и 2>0;

^ \[ъ\ 3 / 3\⁴ 81 3 ^ _А

^б> Vi6=T- ^так (.ТУ =16 ^и т^>0- •

При четных п функция f(x) = xⁿ четна. Отсюда следует, что если а>0, то уравнение х^п = а, кроме корня х_х ==ija, имеет также корень х₂=—уа. Если а—0, то корень один: * = 0; если а<0, то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень лю­бого числа неотрицательна.

Итак, при четном п существуют два корня п-й степени из любого положительного числа а; корень п-й степени из числа 0 равен нулю; корней четной степени из отрицательных чисел не существует.

О Пример 3. Уравнение л:⁴ = 81 имеет два корня: это числа

3 и —3. Таким образом, существуют два корня четвертой сте­пени из 81. При этом — это неотрицательное число, т. е. V8l = 3, а —3=—V8T.

Пр и мер 4. Положительным корнем уравнения х⁴=3 яв­ляется число V3- Это число (так же, впрочем, как и число —\J3) иррационально. Его десятичные знаки можно вычислить после­довательно:

1<УЗ<2, так как 1⁴<3<2⁴;

1,3<V5<1,4, так как 1»3⁴ < 3 < 1,4⁴ и т. д.

(убедитесь, что \/3= 1,31607...). ф

При нечетных значениях п функция f(x)==xf^l возрастает на всей числовой прямой; ее область значений — множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение х^п — а имеет один корень при любом а и, в частности, при а<0. Этот корень для любого значения а (в том числе и а от­рицательного) обозначают %/а.

Итак, при нечетном п существует корень п-й степени из любого числа а и притом только один.

Для корней нечетной степени справедливо равенство

*\1—а= — л/а.

В самом деле,

(—=(— 1)^п-(Я/а)^я= -1 •<*=

т. е. число —л/а есть корень п-й степени из —а. Но такой корень при нечетном п единственный. Следовательно, V—^а~

— —л/а.

Равенство V—а = — л/а (при нечетном п) позволяет выразить корень нечетной степени из отрицательного числа через арифме­тический корень той же степени. Например, У—71 = — УТ\, V—27 = —У27 = —3.

Замечание 1. Для любого действительного х

пг~п\ UI, если п четно;

" Ч х, если п нечетно.

(Докажите это свойство самостоятельно.)

Замечание 2. Удобно считать, что корень первой степени из числа а равен а. Как вы уже знаете, корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а показатель 2 корня при записи опускают (например, корень квадратный из 7 обозна­чают просто л/7). Корень третьей степени называют кубическим корнем.

О Пример 5. Решим уравнение: а) х⁵= — И; б) х^ь — 7.

а) По определению корня n-й степени число х — корень пятой степени из —11. Показатель корня — нечетное число 5, поэтому такой корень существует и притом только один: это V=ni. Итак, *=-VTT.

б) По определению корня п-й степени решением уравнения х^ъ = 7 является число SJ7. Так как 8 — число четное, —yf также является решением данного уравнения. Итак, xi=y7_t л;₂=—^7. Ответ можно записать так: х= ± V7. •

1. Основные свойства корней. Напомним известные вам свой­ства арифметических корней п-й степени.

Для любого натурального п, целого k и любых неотрица­тельных чисел а и b выполнены равенства:

1°. ^J\[ab=¹\la-¹\[b.

²°- Vf=| ^(ьфо)-

з°. (л>о).

4°. \[а = ^п\[а* (к > 0).

5°. Vo*=(Va)* (^{если то} а¥=0).

Докажем свойство 1°. По определению *\[аЬ — это такое неотрицательное число, n-я степень которого равна ab. Число tyja-yb неотрицательно. Поэтому достаточно проверить справед­ливость равенства (^!\[a'^!\[b)ⁿ = ab, которое вытекает из свойств степени с натуральным показателем и определения корня п-й сте­пени: (Va-V6)^rtHVa)4V&)^rt=a6-

Аналогично доказываются следующие три свойства:

^>П п Ж"- ^ ^fl •

^ Vvfc/ m *>'

ЦЩ>о и (л/^)"‘=((лАШ

Va^O и (Var^fe=((Va)")* = ^-

Докажем теперь свойство 5°. Заметим, что n-я степень числа i^jaf равна ак:

По определению арифметического корня (Va)*=V^ (^{так как}

(Va)*^0).

Приведем примеры применения свойств 1° — 5° к решению за­дач на преобразование числовых выражений, содержащих корни.

О Пример 6. Преобразуем выражения: а) б) д/б-^г '»

в) VW; г) ²Vl28; дУ Д/Т28³-

a) V8*V4=V^4=V32 = 2 (свойство 1°); ^б> (^св°^йс™° ²°);

^B) VV^^=IV7 (свойство 3°);

г) ²-\/l28 = ^2J\/2⁷—\/2 (свойство 4°);

д) применяя свойство 5°, находим У128³ = (У128)³ = 2³ = 8. ф Докажем следующее свойство арифметического корня:

6°. Для любых чисел а и Ь, таких, что О^асЬ, выполняется

неравенство Уа<У&.

Проведем доказательство методом от противного. Допустим,

что °\[а^л]Ь. Тогда по свойству степеней с натуральным показате­лем (Уа)"т. е. а^Ь. Это противоречит условию a<Cb.

О Пр и м е р 7. Сравним числа д/2 и УЗ.

Представим У2 и УЗ в виде корней с одним и тем же показа­телем: У2 = ¹У¥= ¹У32, а УЗ = ¹У3³= ¹У27 (свойство 4°). Из нера­венства 32 >27 по свойству 6° следует, что ‘У32>*¹У27, и, зна­чит, У2>Уз.

Пр и мер 8. Решим неравенство х⁶>»20.

Это неравенство равносильно неравенству х⁶— 20>0. Так как функция f(x) = x⁶ — 20 непрерывна, можно воспользоваться мето­дом интервалов. Уравнение х⁶ — 20 = 0 имеет два корня: У20 и —V20. Эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка. Решение данного неравенства — объединение двух из них:

(-оо; -V20) и (V20; оо). ф

Упражнения

Проверьте справедливость равенств (381—382).

381. а) -\/Тб = 2; б) У^7=-1; в) >УТ024 = 2; г) У-243=-3.

382. а) ^!УГ= 1; б) Уб4 = 2; в) У~343=— 7; г) ‘Уб=0.

Вычислите (383—384).

383. а) У—27; б) УвТ; в) У-32; г) Уб4.

384. а) д/l; б) в) г) \J1L.

Решите уравнения (385—388).

385. а) х³-|-4 = 0; б) лс⁶ = 5; в) лс³ = 4; г) л:⁴= 10.

386. а) л;¹⁰—15 = 0; б) л:⁷+128 = 0; в) л:⁶ —64 = 0; г) г’ = 3.

387. а) 16л;⁴— 1 =0; б) 0,01л:³ + 10=0; в) 0,02л:⁶ — 1,28 = 0;

г) 12-|—4-*² = 0.

4 4

388. a) У*= — 0,6; б) \[х=3\ в) л/х=5; г) л]х= — 1.

Найдите значение числового выражения (3,89—394).

389. а) (—УТТ)⁴; б) (2 \f=2f\ в) (У7)³; г) (-ф)⁶.

390. a) V16-625; б) V32-243; в) У8-343; г) 4/0,0001 • 16.

391. а) VI60-625; б) V²⁴*⁹; в) V48-27; г) У^Ь45.

392. a) V9-V9; б) в) ^27-^9; г)

_м, „ а, „ &т.. „ т

^ ^а> У I-VWH./I -У^^;У~^зЛ- ^б>

V ⁵ / 24? ³ / 717* _ч ⁴ /71 ГГ. V5

^В) V 1024 V 27 * "V 8*2 ^8о *

395. Найдите первые два десятичных знака (после запятой) числа:

a) V2; б) V5; В) т/7; г) V3.

Пользуясь таблицами или калькулятором, найдите прибли­женное значение корня с точностью до 0,01 (396—397).

396. a) V10.17; б) в) УГЗДГ; г) ЦП.

397. a) V*37; б) VlO; в) г) ^Дз.

Сравните числа (398—401).

398. a) Щ2 и 0; б) 'Щ* и *д; в) УП8и1;г) УбЯлЦОд.

399. a) -1-V2 и б) и *V043; в) У2 и V3;

г) ^lV08 и 1.

400. а) л/0^3 и V^05; б) V⁴ и У8; в) V7 и V40; г) л/5 и V500-

401. а) У—0,4 и б) и в) \[^2 и ^4;

г) и V=3.

402. Вынесите множитель за знак корня (а>0, 6> 0): a) V64a⁸6“; б) V—128а⁷; в) Уба¹²Ь⁶\ г) V^⁴^-

403. Внесите множитель под знак корня (а>0, Ь>0):

а) —Ьт/З; б) ab~\l^—\ в) а\р\ г) —ab У— 4.

а

При каких значениях а верно равенство (404—405)?

404. a) -yfa²=—a; б) Уа? = а\ в) Уа^в=\а\\ г) \[а^А = а.

405. а) У<?= — а; б) Уа^ = ~^а\ в) \[а⁴—\а\; г) УсГ^а.

Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня (406—407).

406 а) ³ • к\. _в\ ¹. _г\ Ув+¹

* ' л/7—л/5 ’ ' а+л/2 ’ л/5 + л^’ л/б-1 '

407. а); б); в) -i—; г).

У2 2 -\/х xSfi 3

Приведите числовое выражение к виду a V6, где а — ра­циональное число, а b — натуральное (408—409).

ч 2. 6 _ч з.. ю

\f4 ’ У27^2Ь ’ ^В Vl2 V®

409. a) 'V25⁵; б) \Jв) г) л/^-

410. Решите уравнение с помощью подстановки t=\[x или t=^Jx: a) Vx —5Vjc + 6=0; б) ->[х-\-л[х = 2\ в) л/х — 3V* + 2 = 0;

г) У*— 5V* = 6.

Решите неравенства (411—412).

411. а) *⁴<3; б) *“>7; в) *¹⁰>2; г) х³<5.

412. а) У*<—7; б) в) V*>²; г) 3.

Упростите выражения (413—414).

413. а) Уа⁵» где а<0; б) \[а?_у где а>0;

в) Va⁵; г) -д/а⁵, где а^0.

414. a) Уо³—Уа⁵, где а<0; б) V^^T+²V^⁷» ^гД^е а^0;

в) V^-V2\ где я^0; г) Уа^+ЗУя*, ^гД^е

415. Найдите значение выражения:

а) -Ую+л/ТЗ-У¹⁰-'\/73; б) У^+.У*^ +л/Г7;

V4-V17

в) V9-V65-V⁹+V65; г) V³—>/5-V³+V5.

416. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит радикала:

1 2 v 2 _ч За

^а) ^б) —гтг; ^в) т^гг;dr» ^г)

V2 — V3 ’ a-Vfe ’ V& + V7 ’ Va²-V^+W ’

32. Иррациональные уравнения

Уравнения, в которых под знаком корня содержится перемен­ная, называют иррациональными. Таково, например, уравнение

V*-2 = 0.

0 Пример 1. Решим уравнение д/х² — 5 = 2.

Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим х² — 5=4, откуда следует, что х²=9, т. е. х=3 или х—~3.

Проверим, что полученные числа являются решениями урав­нения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение по­лучаются верные равенства

д/3^5 = 2 и д/(—3)^—5 = 2.

Следовательно, х = 3 и х =—3 — решения данного уравнения.

Пример 2. Решим уравнение д/х=х — 2.

Возведя в квадрат обе части уравнения, получим х=х² — 4л:+ 4. После преобразований приходим к квадратному уравнению х² —

— 5*+ 4 = 0, корни которого х= 1 и х = 4. Проверим, являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в него числа 4 получаем верное равенство д/4 = 4 — 2, т. е. 4 — ре­шение данного уравнения. При подстановке же числа 1 получаем в правой части —1, а в левой части число 1. Следовательно,

1 не является решением уравнения; говорят, что это посторонний корень, полученный в результате принятого способа решения. Ответ: х — 4. ф

Мы видим, что при решении иррациональных уравнений по­лученные решения требуют проверки, потому, например, что не­верное равенство при возпедении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство 1 = — 1 при возве­дении в квадрат дает верное равенство 1² = (—I)².

О Пример 3. Решим уравнение д/х²— 2=д/х.

Возведем обе части этого уравнения в квадрат: х² — 2 = х, от­куда получаем уравнение х²—х —2 = 0, корни которого х=—-1 и х = 2. Сразу ясно, что число —1 не является корнем данного уравнения, так как обе части его не определены при х— — 1. При подстановке в уравнение числа 2 получаем верное равенство -yj2² — 2= д/2. Следовательно, решением данного уравнения явля­ется только число 2.

Пример 4. Решим уравнение д/х— 6 = д/4 — х.

Возводя в квадрат обе части этого уравнения, получаем х —6 = 4— х, 2х =10, х = 5. Подстановкой убеждаемся, что чис­ло 5 не является корнем данного уравнения. Поэтому уравнение не имеет решений, ф

Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.

О Пример 5. Решим уравнение д/х— 2 = х— 8.

По определению д/х —2 — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Другими сло­вами, уравнение д/х — 2 = х — 8 равносильно системе

{ х — 2 = (х — 8)²,

1 х — 8>0.

Решая первое уравнение системы, равносильное уравнению х² —

— 17л:+ 66 = 0, получим корни 11 и 6, но условие х — 8^0 выпол­няется только для jc=11. Поэтому данное уравнение имеет один

корень х—11.

Пример 6. Решим уравнение х— 1 —Цх¹—х— 1.

В отличие от рассмотренных ранее примеров данное ирра­циональное уравнение содержит не квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому для того, чтобы «избавиться от ради­кала», надо возвести обе части уравнения не в квадрат, а в куб: (л:—1)³ = л:² — х—1. После преобразований получаем:

л:³ — Зл:²-[-Зл: — 1 =х²—х — 1, л:³ — 4л:² + 4х = 0, х (х² — 4л:4-4) = 0, л: (л: — 2)² = 0.

Итак, Х\ =0, х₂ = 2.

Пример 7. Решим систему уравнений

JVh-^=4,

I х-\-у = 28.

Положив и = \[х и v=%Jy, приходим к системе

Г u + v = 4,

\ и +v³ = 28.

Разложим левую часть второго уравнения на множители: u?-{-v³ = (u-\-v)(u² — uv-\-v²) — и подставим в него из первого уравнения u-\-v = 4. Тогда получим систему, равносильную второй:

I u + v = 4,

1 и² — uv-\-v² = 7.

Подставляя во второе уравнение значение v, найденное из первого (v = 4 — и), приходим к уравнению

и² — и (4 — м)+(4 — и)² = 7, т. е. и² — 4ы + 3=0.

Полученное квадратное уравнение имеет два корня: wi = l и «2 = 3. Соответствующие значения v таковы: v\ = 3 и и₂ = 1. Пе­реходя к переменным хну, получаем: $Jx = ui, т. е. х\ = и]=\, y\ = v³\ = 27, x₂ = ul = 27, y₂ = vl = \. От в е т:.(1; 27), (27; 1).ф

Упражнения

Решите уравнения (417—420).

417. а) Ул:⁴+19 = 10; б) Vл:² — 28 = 2;

в) V61 — л:² = 5; г) У*-9=-3.

418. a) ^Jx-\-1 =х — 5; б) *+л/2л: + 3 = 6;

в) У2л— 1 =х — 2; г) 3+У3л-И=л.

419. а) -\j2x-j -1 =Ул² —2л + 4; б) -\Jx--yJx² —х — 3;

в) Ул-|-2 = У2л— 3; г) д/9 — х¹ =л]х-\-9

420. а) л=Ул ³ + *² — 6 лг+ 8; б) х—2=\/х²—8;

в) х=Ух³— л² — 8л +20; г) л +1 =Ул³ + 2л²+*-

421. Решите систему уравнений:

а) [\[х + 2Му=\, б) {4 Ул —д/*/ = 2 д/ 2, ^3\[х—Цу==\0;^2 У* + 3 У*/= 8 д/ 2;

в) | 2 V^+V^=7, г) | д/х+3 д/^=5д/5,

I 4 У£- 3 V^=6; ¹ 5 д£- 2 д^==д/5.

Решите уравнения (422—425). 422. а) д/л:+ 1 д/* + 6 = 6; б) -T±L=V*-i; л/2*-1 в) ^±lr=V3*+2; г) д/хУ2 —л = 2л. У*—2     423. a) "\/5-|-V* + 3 = 3; б) -\/Ул2— 16+л = 2; в) 18 — д/л-f- 10 =4; г) д/л—Ул2 — 5 = 1. 424. а) Ул — 3 = 1 +Ул — 4; б) Ул+2 —Ул —6 = 2; в) 24-д/Ю—л=У22 — л:; г) У1 —2л — 3=У16+л. 425. а) д/л:—3 — 6 = д/л—3; б) Ул+1+2 ул;+1=3; в) У*—5 = 30 — д/л — 5; Г) 3 'Ул:2-3+Ул2-3 = 4. Решите системы уравнений (426—427). 426. а) |2д/л—— б) | Уб+л—3 УЗг/ -1— 4— — 1 д/л д/*/ = 3;   14уЗ^ + 4 —5Уб+л=| в) / д/л + 3 д/*/=10, г) (2Ул-2+У5*/-И=8, 1 д/л д/*/=8;   1 зУл-2-2У5у+1 = 427. а) | д^+д/^=8, б) / У*+У*/ =5, 1 х — у= 16;   1 л# = 216; в) | д/л д/f/=4, г) csf и £ S 1 л—у = 32;   t".' см II

33. Степень с рациональным показателем

Вам уже знакомо понятие степени числа с целым показателем. Выражение а^п определено для всех а и п, кроме случая а=0 при п^.0. Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел а, b и любых целых чисел тип справедливы равенства:

a^m-aⁿ = a^m+n; a^m:aⁿ = a^m~ⁿ (, афО );

(a^m)ⁿ = a^mn\

(abr=a?-b\(j_r)'[ЬФ0); a}=a\ a° = l (аф0)_ш Отметим также следующее свойство:

Если т>я, то а^т>а" при 1 и а^т <а^п при 0<а<1. В этом пункте мы обобщим понятие степени числа, придав

5 1

смысл выражениям типа 2^0,3, 8 ^[20], 4 ² и т. д. Естественно при этом дать определение так, чтобы степени с рациональными показателями обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью), что и степени с целым показателем. Тогда, в частности,

т

п-я степень числа а^п должна быть равна а^т. Действительно, если свойство

[aP)^q = a^pq

выполняется, то

т

(а^п)^п = а^п'^П = а^т.

Последнее равенство означает (по определению корня п-й

т

степени), что число а ^п должно быть корнем /2-й степени из чис­ла а^т.

Определение. Степенью числа а > 0 с рациональным по­казателем, ^г==~> ^гД^{е m} — целое число, ал — натуральное (я > 1), называется число

Итак, по определению

m

аГ=^. (1)

Степень числа 0 определена только для положительных по­казателей; по определению 0^Г = 0 для любого г>0.

О Пример 1.По определению степени с рациональным показа­телем

Воспользовавшись определением степени с рациональным пока­зателем и свойствами корней, имеем 8³ =^8 = 2, 81 ⁴ =\/вР==

=(УвТ)³ = З³ = 27, 128 ⁷ =VT28^=(Vl28)^_2 = 2“²=-j- Ф

Замечание 1. Из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого положительного а и лю­бого рационального г число а^г положительно.

Замечание 2. Любое рациональное число допускает раз­личные записи его в виде дроби, поскольку ~=^ для любого на­турального k. Значение а^г также не зависит от формы записи рационального числа г. В самом деле, из свойств корней следует,

mk т

что a^nk=^nlSla^M=^a\fa^Fi ==а ^п.

Замечание 3. При а<0 рациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Если бы мы сочли верной

формулу (1) и для а< О, то, например, значение (— 8)³ равня-

___________________________________________________________________________________________________________________________ I 2

лось бы у —8, т. е. —2. Но, с другой стороны, —, и поэтому

1 —

должно выполняться равенство —2=(— 8)³ =(— 8)⁶ =У(— 8)²— =fy8⁵=2.

Покажем теперь, что при сформулированном выше определе­нии степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница за­ключается в том, что приводимые далее свойства верны только для положительных оснований).

Для любых рациональных чисел г и s и любых положитель­ных а и b справедливы равенства:

1 °. a^r-a^s=a^r+s.

2°. а^г:а? =a^r~^s.

3°. (a^r)^s=a^rs.

4°. ( ab)^r = a^r-b^r.

^s°(f)'=£•

Для доказательства этих свойств надо воспользоваться опре­делением степени с рациональным показателем и доказанными в п. 32 свойствами корней. Докажем, например, свойства 1°, 3°,

и 4°. Пусть ^=-— ^{и s==}~"> ^гд>^{е п и} Я — натуральные числа, a m и

р — целые. Тогда

mq-\-np

d-a^s = %[d ⁿ• ^n<\Ja^mq+np=a ^nq =a^r+s\

(ab)^r=У(аЬ)^т = =*{/сГ • = a^r-b^r.

Свойства 2° и 5° доказываются аналогично (проведите соот­ветствующие рассуждения самостоятельно)., ₃

О Пример 3. Найдем значение выражения ⁴:5 ⁴.

-L _ 1 J. А ³. ^{1 1} I ³

V40*2⁴:5 ^{4 4} -5⁴ = 2^{4 + 4} -5^{Т + Т} =2'-5¹ = 10.

Пример 4. Преобразуем выражения:

I I

a* —h* J’² и²-¹

а) ------ —; б) ⁰ ~^Ь

1 I a⁰’⁸ + a^0,4fe^0,7 + fe¹'⁴ "

a⁴ +fc⁴

2^ 1 1 liii

_а) ^~Ь~² _(fl^T)²-(fc^T)² (a⁷-ft⁷)(a^T+ft⁴) Т jlТ *11 11 11 и и

а⁴ +6⁴ а⁴ +6⁴ а⁴ +/?⁴

„1.2 1,2,1,0.4,3 /»,0,7чЗ

б) —Т^ь.______ ^ (а г—(ft) г^д⁰-⁴ /)0-⁷ fi

а⁰’⁸ + a°^Ab^0J+b^м (а⁰-⁴)² + a⁰'⁴fc°-⁷+(ft⁰-⁷)²

Отметим следующие два свойства степеней с рациональными показателями:

6°. Пусть г — рациональное число и 0<а<6. Тогда

а^г<Ъ^Г при г>0, a^r~>b^r при г С 0.

7°. Для любых рациональных чисел г и s из неравенства r>s следует, что

a^r > a^s при а > 1, а^т < а⁵ при 0 < а < 1.

Докажем свойство 6°. Если г>0, то г можно записать в виде ^г~~' ^гД^{е m И п} — натуральные числа. Из неравенства 0<а<Ь

и свойств степени с целым показателем следует, что a^m<b^m. По свойству корней (свойство 6°, п. 32) из этого неравенства полу­чаем V^<V^\ ^т-^е- °^г<ь^г.

В случае г< 0 проводится аналогичное рассуждение.

Для доказательства свойства 7° приведем сначала рациональ­ные числа г и s к общему знаменателю: г=— и s=-^~, где п —

п п

натуральное число, a m и р — целые. Из неравенства r>s сле- 212

дует, что m>p. Если а> 1, то а^п =^t\[a> 1 и по свойству степени

j_ 2.

с цел ым показателем (а ^п)^т > (а ^п)^р.

lm I р

Остается заметить, что (а^п)^т = а^п=а^г и (aⁿ)^p = aⁿ=a^s.

Случай 0<а<1 разбирается аналогично.

О Пример 5. Сравним числа ^8 и 2³

Запишем ^8 в виде степени с рациональным показателем: А — А

д/8 = 2⁵. По свойству 7° получаем 2³>2⁵, так как

и О

Пример 6. Сравним числа 2³⁰⁰ и З²⁰⁰.

Запишем эти числа в виде степеней с одинаковым показате­лем:

2³⁰° _^2³)¹⁰⁰ — 8¹⁰⁰' 3²⁰⁰ = (3²)^|00 = 9¹⁰⁰ Так как 8<9, по свойству 6° получаем:

8¹⁰⁰<9¹⁰⁰, т. е. 2³⁰⁰ < 3²⁰⁰. в

Упражнения

428. Представьте в виде корня из числа выражение:

а) З¹-²; б) 5 ³; в) 4¹-²⁵; г) б‘

429. Представьте выражение в виде степени с рациональным по­казателем:

а) б) в) г) М¥.

Найдите значение числового выражения (430—431).

430. а) 243”; б) (££) \ в) 16\ г) (g)\

1 1 з

431. а) 8²:(8⁶ *9²); б) VT00-(^)³ -(-g-);

в) 8^:81-; г) (l §)"^М. (₄ §) '

Разложите на множители (432—433).

1! 1 1 1

432. а) (ах)³ +(ш/)³; б) а-а²; в) З + З²; г) (Зл:)²-(5л:)'

1111 11

433. а) х³у³ -х³ -у³ +1; б) с²+с⁴;

1 1111

в) 4 — 4³; г) а + 6²+а²-}-а²Ь².

Упростите выражения (434—435).

434. а) ■ Г*,; б) -т*^-8

2 I

а²—Ь² z³+2z³+4

I

*² ~⁴ - _Г\ _________________________________________________________ ^Q + ^fc

^в/» / 2 I 1

X— 16

а ³ —а ³ 6 ³ + ft ³

435. а) -/-Ч-т- ^Х’^У', ^+Х'^!>2; б) --¹.^±L _+2а?

х⁴ + х²у⁴ х² +у² а + а²+1 а²—1

/ 1, 1 \ а³ —fc³

[ -1 1 ^_| 1 1 I' а* + аЬ + Ь² \ а+а²6² а — а²Ь² /

_Г) —£+1

хУх + х + У* х² —д/х

436. Сравните числа: i₅

a) Wh 3^Т; б)0,4-²-' и (|-) ';