Таким образом, для всех х из промежутка / справедливо ра­венство Ф (х) — F (х)—С, что и требовалось доказать

Основному свойству первообразной можно придать геометри­ческий смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 118, а).

2. Примеры нахождения первообразных.

О Пример 1. Найдем общий вид первообразных для функ­ции f[x)= — х³ на R.

Заметим, что одной из первообразных функции / является функ­ция — так как = —*³. В силу доказанной теоремы общий вид первообразных для функции f таков:

/Ч*)=~4+^с-

Пример 2. Найдем первообразную F₀ (х) для функции f{x)= = р~ на промежутке (0; оо), принимающую при х = \ значение 1

Легко проверить, что любая первообразная функции / имеет вид F (х)= — Так как по условию F(l)=l, приходим к

уравнению (относительно С) вида — 1 -f- С= 1, откуда С = 2, и,

следовательно, F₀{x)——~“+2.

Пример 3. Точка движется по прямой с постоянным уско­рением а. В начальный момент /о = 0 точка имеет начальную ко­ординату х₀ и начальную скорость v₀. Найдем координату х (t) точ­ки как функцию от времени.

Так как х' (t)=v (t) и v' (t) = a(t), из условия a(t) = a получаем v' (t) — a. Отсюда следует, что

v{t)=at + C_x. (2)

Подставляя t₀ — 0 в формулу (2), находим Ci~v₀ и

х' (t)=v (^) = а^ + По­следовательно, _п/2

Х(‘)=у- + М+С₂. (3)

Чтобы найти С₂, подставим в (3) значение /о = 0, откуда С₂ = хо. Итак,

x(t)=j- + v₀t + x₀. ф

Замечание. Для краткости при нахождении первообраз­ной функции / промежуток, на котором задана f, обычно не ука­зывают. Имеются в виду промежутки возможно большей длины. Так, в следующем примере естественно считать, что функция f (х)=

=~ задана на интервале (0; оо).

V*

О Пример 4. Найдем для функции f (х)=~ первообразную,

л}х

график которой проходит через точку М (9; —2).

Любая первообразная функции f(x) = -^r записывается в виде

ух

2л[х-\-С. Графики этих первообразных изображены на рисун­ке 118, б. Координаты точки М (9; —2) графика искомой первооб­разной должны удовлетворять уравнению 2д/94-С——2. Отсюда

находим, что С—— 8. Следовательно, F (х) — 2л[х — 8. ф

Ниже приводится таблица первообразных для некоторых функ­ций:

Функция /	k (посто­ янная)	J X* (лег. пф — 1)	т*	sin х	COS X	cos2 X	sin2 x
Общий вид перво­образных для f	fcx-j~C	ул+1 "+|+с	2 л[х+С	— COSX + +с	sin x-f-С	tg X+C	—ctgx+ +c

Проверьте правильность заполнения этой таблицы самостоя­тельно.

Упражнения

Найдите общий вид первообразных для функции f (335— 336).

335. a) f {х) = 2 — х⁴; б) f (х)=хcos х; в) f (x) = 4x; г) /(*)=— 3.

336. a) f(x)=x⁶\ б) /(*)=^г—2;

^в) f(^x)=l ~Jri г) f(x) = x ⁵.

337. Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в указанной точке:

а) /М-Jr. ^/7(т) ⁼ ~'¹²’ ^б> /W-S5PT- ^р(т)=°;

в) f(x)=x³, F {— 1) = 2; г) f(x)=sin х, F { — л)= — 1.

338. Проверьте, что функция Я является первообразной для функции /. Найдите общий вид первообразных для f, если:

а) F (x) = sin х—х cos х, f (х)—х sin х;

б) F(x) = ^x² + 1, f(x)=-j^=i

в) F (x) = cos sin л:, f (дг) = лг cos л:;

г) F{x)=x-~_t f(x) = ^l-i£.

339. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через данную точку М:

а) / (х)=2 cos х, м(—l);

б) l(x)=l-x\ М (—3; 9);

^в) / M=^s'ⁿ (■*+■§■) • ^Л,('Т • — *) ’

г) /М =jr. М(-'_т; 3).

340. Для функции f найдите две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых (т. е. точками с равными абсциссами) равно а:

а) /(х)=2 — sin х, а = 4; б) / (*) = 1 +tg² х, а= 1;

в) / (x) = sin² —cos² а = 0,5; г) /(*)=—* ^а==2*

^Л ^ -у*

341. Точка движется по прямой с ускорением a(t). В началь­ный момент /о ее координата равна хо, а скорость vq. Найдите координату х (/) точки как функцию от времени:

а) а (/)= —2/, /₀ — 1, *о = 4, г>о = 2;

б) a(/) = sin/, *о = у-, х₀ = 2, i>o=l;

в) а(/)=6/, /о=0, х₀ = 3, и₀ = 1;

г) a(t) = cos t, to = n, х₀ — 1, vo = 0.

28. Три правила нахождения первообразных

Эти правила похожи на соответствующие правила дифферен­цирования.

Правило 1. Если F есть первообразная для f, a G — первообразная для g, то F+ G есть первообразная для /+£.

Действительно, так как F'—f и G' = g, по правилу вычисления производной суммы имеем:

{F+G)' = F'+G'=f+g.

Правило 2. Если F есть первообразная для f, a k — постоянная, то функция kF — первообразная для kf.

Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому

(kF)' = kF' = kf.

Правило 3. Если F (х) есть первообразная для f (х), a k и b — постоянные, причем кфО, то ~F (kx + b) есть первообразная для f (i fex+6).

Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем:

(\-F(kx + bty=\-F^f (kx+b)-k = f(kx + b).

Приведем примеры применения этих правил.

О Пример 1. Найдем общий вид первообразных для функции

f(x)=x³+^r.

Так как для х³ одна из первообразньиь есть а для ^-одной из первообразных является —по правилу 1 находим: одной

1 X⁴ 1

из первообразных для функции f (х)-х³—-^- будет

Ответ. F [х)=—.- —Ь С.

V 7 4 х

Пример 2. Найдем одну из первообразных для функции f(x)=5 cos х.

Так как для cos х одна из первообразных есть sin х, применяя правило 2, получаем ответ: F (л:) = 5 sin х.

Пример 3. Найдем одну из первообразных для функции y=sin (За: —2).

Для sin х одной из первообразных является — cos х, поэтому по правилу 3 искомая первообразная равна F (х) =—у-cos (За: — 2). Пр и м е р 4. Найдем одну из первообразных для функции

/ W = (7_3_X)⁵ •

Так как для первообразной является — ^, по правилу 3 искомая первообразная равна F (а:) = • ₄ ^₇~*—у = — ^ ^.

Пример 5. Материальная точка массой 2 кг движется по оси Ох под действием силы, направленной вдоль этой оси. В момент времени t эта сила равна F(t) = St — 2. Найдите закон х (/) движения точки, если известно, что при / = 2с скорость точки равна 3 м/с, а координата равна 1 (F — сила в ньютонах, t — время в секундах, х — путь в метрах).

Согласно второму закону Ньютона F — ma, где а — ускоре­ние. Имеем

я(0=—=4-<—1.

' т 2

Скорость v (/) точки есть первообразная для ее ускорения а (/), поэтому

t<w=f-f²-<+c,.

Постоянную Ci находим из условия и(2)=3:

!_4_2 + Ci = 3, т. е. Ci =2 и v (/)=-|-/² — / + 2. Координата х (t) есть первообразная для скорости v (t), поэтому х(1)=-\-1³~1² + 21 + С₂.

Постоянную С₂ находим из условия а: (2) = 1:

i~⁴+4 + C₂=l, С,= -3.

Итак, закон движения точки:

—1-<²+2<—3. «

Упражнения

Найдите общий вид первообразных для функции f (342— 344).

342. а) /(*) = 2 —*³+4г; б) f(x)=x—?r+cos*;

в) f (х)=-^—sin х\ г) f (х) — 5х²—1.

343. а) /(*) = (2х —З)⁵; б) /(*) = 3 sin 2х;

В) /М=(4 —5х)⁷; г) /(А-)=—i-cos(-|—.

344. a) f(x)=₃-^_r; б) /(*)= ²

(т-«) '

^в) /(*Н/5TZTpi г) /W^{: 2} ' ¹

(Зх-1)²’ ^{7 1 K J} х⁵ cos²(Зх— 1) ’

345. Найдите для функции / первообразную, график которой проходит через точку М:

a) f(x)=4x+jr, М(-1; 4); б) 1(х)=х³ + 2, М(2; 15); в) ^(ж)=1—2лг, М(3; 2); г) /(*)=■?■— 10^+3,М(1;5).

346. Найдите общий вид первообразных для функции:

а) / (*)= 1 — cos Зл' + 2 sin^-|—х);

^б> ЬТ³*"

^в> f M=^W+i)~^{3 sin (4}~*>+²*^;

^г> '«=(OT+db-^2cos (-?--*)•

(3 —2х) -fix —2

347. Задайте первообразную У⁷ для функции f формулой, если известны координаты точки М графика F:

а) f(x)=2x+ I, М (0; 0);

б) f(x) = Зх? — 2х, М (1; 4);

в) f(x)=x + 2, М(1; 3);

^г) / (*)= — *² + Зх, М (2; —1).

348. Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой v (t)—t²-\-2t— 1. Запишите формулу зависимости ее коорди­наты х от времени /, если известно, что в начальный момент времени (/=0) точка находилась в начале координат.

349. Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой v(t)=2 cos Найдите формулу, выражающую зависимость координаты точки от времени, если известно, что в момент t—~c точка находилась на расстоянии 4 м от начала коор­динат.

350. Точка движется прямолинейно с ускорением а(/)=12/² + 4. Найдите закон движения точки, если в момент t = 1 с ее ско­рость равна 10 м/с, а координата равна 12 (единица изме­рения а равна 1 м/с²).

351. Материальная точка массой т движется по оси Ох под действием силы, направленной вдоль этой оси. В момент времени t сила равна F (/). Найдите формулу зависимости л:(/) от времени t, если известно, что при t = to скорость точки равна v_0t а координата равна х₀ (F (t) измеряется в ньютонах, t — в секундах, v — в метрах в секунду, т — в ки­лограммах):

а) F (t)=6 — 9t, to—l, ио = 4, х₀ = — 5, m = 3;

б) F (t) = 14 sin t, to —я, Vo —2, *0 = 3, m = 7;

в) F (/) = 25 cos t, vo —2, Xo³=4, m = 5; r) F (t) = 8t-\-8, to = 2, Vo = 9, x₀ = 7, m — 4.

352. График первообразной F\ для функции f проходит через точку М, а первообразной F% — через точку N. Какова раз­ность этих первообразных? Какой из графиков F\ и F% рас­положен выше, если:

а) /(х)=3*²-2* + 4, М (— 1; 1), N (0; 3);

б) f (х) = 4*-6л:²+1, М (0; 2), N{\\ 3);

в) f{x) = 4x-x:³, М{2; 1), N {-2; 3);

г) f(x)=(2x+lf, М(-3; -1), ЛГ(1; б-f)?

§ 8. ИНТЕГРАЛ 29. Площадь криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [а\ Ь] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а\ Ь] и прямыми х = а и х — Ь (рис. 119), называют криволинейной трапецией. Различные примеры криво­линейных трапеций приведены на рисунках 119, а — д.

Для вычисления площадей криволинейных трапеций применя­ется следующая теорема:

Теорема. Если f — непрерывная и неотрицательная на от­резке [а; Ь ] функция, a F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции (рис. 120) равна приращению первообразной на отрезке [а; Ь\ т. е.

S=F (b)—F (а). (1)

Доказательство. Рассмотрим функцию 5 (л:), опреде­ленную на отрезке [а; b]. Если а<.х^.Ь, то S (х) — площадь

той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку М (х\ 0) (рис. 120, а). Если х = а, то 5 (а) = 0. Отметим, что 5 (b)=S (S — пло­щадь криволинейной трапеции).

Докажем, что

S'(x)=f(x). (2)

По определению производной надо доказать, что

“*“►/(*) ^ПР^И А*-^0. (3)

Выясним геометрический смысл числителя Д5 (а:). Для просто­ты рассмотрим случай Дл:>0. Поскольку AS (x) — S (* + Да:) —

— S (а:), то AS (а:) — площадь фигуры, заштрихованной на ри­сунке 120, б. Возьмем теперь прямоугольник той же площади AS (х), опирающийся на отрезок [а:; х + Дл:] (рис. 120, в). В силу непрерывности функции f верхняя сторона прямоугольника пере­секает график функции в некоторой точке с абсциссой с£[а:; а:+ Да:] (в противном случае этот прямоугольник либо содержится в час­ти криволинейной трапеции над отрезком [а:; а:+Да:], либо со­держит ее; соответственно его площадь будет меньше или больше площади AS (а:)). Высота прямоугольника равна f (с). По форму­ле площади прямоугольника имеем AS (x) — f (с)Ах, откуда

~f~⁼⁼f (^с)- (Эта формула верна и при Да:<0.) Поскольку точка с

лежит между х и х-\- Ах, то с стремится к х при Да:->-0. Так как

функция f непрерывна, / (с) —►/ (а:) при Да: —>-0. Итак, (а:)

при Да:-—>-0.

Формула (2) доказана.

Мы получили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех А:£[а; Ь] имеем:

S(x) = F(x)+C,

где С — некоторая постоянная, a F — одна из первообразных для функции /. Для нахождения С подставим х — а:

F (а)С = S (а) — 0, откуда С=—F (а). Следовательно,

5 [x) = F{x)-F{a). (4)

Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляя х = Ь в формулу (4), получим:

S=S{b)=F{b)-F(a).

О Пример. Вычислим площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)=x², прямыми у — 0, а:=1 и л: = 2 (рис. 121).

Для функции f(x)—x² одной из первообразных является функция

,.з

/?(*:)=—. Следовательно, 5=F(2)-F(1)=|—£=-£-. •

А Вы видели, что вычисление про­изводной функции в большинстве случаев связано лишь с трудностя­ми вычислительного характера. Сложнее обстоит дело с нахожде­нием первообразных. Так, не сразу ясно, имеет данная функция перво­образную или не имеет. В связи с этим отметим, что любая непре­рывная на промежутке функция имеет на этом промежутке первооб­разную. Разъяснение этого факта дает доказательство формулы (2), приведенное выше. Однако первообразные некоторых из извест­ных вам функций нельзя записать с помощью функций, изуча­емых в школе. Так обстоит дело, например, с функцией

*/=У?-Ы1. А

Упражнения

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (353— 354).

353. а) у = х², у = 0, х = 3; б) у== cosx, у — 0, х = 0, х=-^-\

в) у — sin х, у — 0, х = 0, х = л; г) i/=~г. */ = 0, х=\, х = 2.

354. a) i/ = x³-j-1, у = 0, х=0, х = 2;

б) у = l+2sinx, у — 0, х—0, х—~\

в) у = 4 —х², у=0;

г) */ = 1 +^-cos х, у = 0, х — х=~.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (355— 356).

355. a) y={x + 2f, у = 0, х = 0;

^б) ь у=⁰' ^х=°>

в) у=2х—х², у=0; г) у=— (х— I)³, у=0, х=0.

356. a) j,=3sin(*+2p), у=0, *=Т^:

б) у — 2 cos 2*, у=0, х——х—~\

)

• 1 а я 5л

у = sin X — у = О, Х =—, х= — \

г) у— 1—cos*, у— 0, х= — х=~-.

30. Интеграл. Формула Ньютона—Лейбница

1. Понятие об интеграле. Рассмотрим другой подход к задаче вычисления площади криволинейной трапеции. Для простоты бу­дем считать функцию / неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; Ь\ тогда площадь S соответствующей криволиней­ной трапеции можно приближенно подсчитать следующим обра­зом.

Разобьем отрезок [а; b] на п отрезков одинаковой длины точ-

L __ _п

ками x0 — a<.xi<x2<z...<x_n~i<x_n — b, и пусть Ах—-¹¹——

п

—x_k—Xk-\, где k = \, 2,..., п — 1, п. На каждом из отрезков [*л_ 1; Xk] как на основании построим прямоугольник высотой f(x_k-1). Площадь этого прямоугольника равна:

а сумма площадей всех таких прямоугольников (рис. 122) равна:

(*о) + / (ArO +.-. + f (*„-i)).

В силу непрерывности функции f объединение построенных прямоугольников при большом п, т. е. при малом Д*, «почти совпадает» с интересующей нас криволинейной трапецией. Поэ­тому возникает предположение, что S_n~S при больших п. (Корот­ко говорят: «S_n стремится к 5 при п, стремящемся к бесконеч­ности»— и пишут: при п-*оо.)

Предположение это правильно. Более того, для любой не­прерывной на отрезке [а; Ь] функции f (не обязательно неотри­цательной) S_n при п—оо стремится к некоторому числу. Это число

называют (по определению) интегралом функции f от а до b и обо-

ft

значают \ f (х) dx, т. е.

а

Ь

S„—^ f(x)dx при п—оо (1)

а

(читается: «Интеграл от а до b эф от икс дэ икс»). Числа а и b

называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Знак \ называют знаком интеграла. Функция / на­зывается подынтегральной функцией, а переменная х — перемен­ной интегрирования.

Итак, если f(x)^0 на отрезке [а; Ь\ то площадь 5 соответ­ствующей криволинейной трапеции выражается формулой

ь

S=\f(x)dx. (2)

а

V Для приближенного вычисления интеграла можно рассмат­ривать суммы S_n. Лучше, однако, воспользоваться суммами

(*о) + /(*0 + f (* 2) + --- + f (*л)),

слагаемые которых (в случае положительной функции f) равны площадям трапеций, «вписанных» в криволинейную трапецию и ог­раниченных ломаными, как это изображено на рисунке 123.

Действительно, применяя формулу площади трапеции, полу­чаем:

с _/(*!»)+/(*|) Ь — а, /(*|)+/(*2) Ь — а. __ ^п 2 * п ' 2 п

~~t(*2)+...+/(Xn-\)-{--^-f(*«))• A

2. Формула Ньютона — Лейбница. Сравнивая формулы пло­щади криволинейной трапеции

ь

S = F (b) — F (а) и S=\f(x)dx,

а

делаем вывод: если F — первообразная для / на [а; Ь\ то

ь

\f(x)dx=F(b)-F(a). (3)

а

Формула (3) называется формулой Ньютона — Лейбница. Она верна для любой функции /, непрерывной на отрезке [а; Ь\ Рассмотрим примеры применения формулы Ньютона — Лейб­ница. ² О П р и м е р 1. Вычислим \ x²dx.

-1

9 X³

Поскольку для х одной из первообразных является —,

Для удобства записи разность F (b)—F (а) (приращение функции F на отрезке [я; Ь]) принято сокращенно обозначать /*Ч*)|_а, т. е.

f(6)-F(a)=fW|‘.

Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона — Лейбница обычно записывают в виде

ь

\f(x)dx=F(x) |‘- (4)

а

л

Пр и м е р 2. Вычислим $ sin xdx.

О

Пользуясь введенными обозначениями, получим:

Л

^ sin xdx= —cos *|₀= —cos л — (— cos 0) = 2. #

о

Замечание 1. Данное нами определение интеграла не поз­воляет говорить, например, об интеграле от — 1 до 2 функции

-р-, так как эта функция не является непрерывной на отрезке [—1; 2]. Заметим также, что функция —— не является первооб-

I ^х

разной для функции на этом

отрезке, поскольку точка 0, принад­лежащая отрезку, не входит в об­ласть определения функции.

О Пример 3. Вычислим пло­щадь фигуры, ограниченной лини­ями у= 1—х и у — 3 — 2х—х².

Нарисуем эти линии (рис. 124) и найдем абсциссы точек их пере­сечения из уравнения 1— х —

= 3 — 2х—х². Решая это уравнение, находим х — 1 и Х——2. Искомая площадь может быть получена как Рис. 124

разность площадей криволинейной трапеции BADC и треуголь­ника ВАС. По формуле (2) имеем:

Smdc=\ (3 — 2лг — лг²) йлг=(3дг — дс²—| _₂ =

—(з— I —f) —(з-(— 2)—(—2)²-^) =9. S_aabc=±-AB.BC=-L. 3.3=4-.

Следовательно, площадь заштрихованной фигуры равна:

S — S_Badc *5лв/1с ⁼ 9 —=—=4,5. ф

Замечание 2. Удобно расширить понятие интеграла, по­лагая по определению при а^Ь, что

Ъ а

\ f (х) dx — — \ f (х) dx.

a b

При таком соглашении формула Ньютона — Лейбница оказы-

а

вается верной при произвольных а и Ь (в частности, $ f (х) dx—0).

Упражнения

Вычислите интегралы (357—358).

Я л

2 Т 3 Т

357. а) \ x*dx\ б) [ cos xdx\ в) \ x³dx\ г) \ - - * -.

h о I о ^cos *

Я

2 л 10 У

358. а) \; б) \ 3 cos ^-dx\ в) \ г) \ sin 2xdx.

1 0 1 _я

359. Докажите справедливость равенства:

я п 1

Т 1 ¥ Т

^а) \ ——\dx\ б) \ sinjtdx=5 о ^cos * о о U

Л

Т Ш 1 2

в) ^ cosjrdjt=$ л:²^*; г) ^ (2л:-}-1) с?лг=^ С-^³ — l)dx.

ООО о

Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фи­гуры, ограниченной линиями (360—361).

360. а) у=х^А, у —0, х= — 1, а=1; б) у=х*, у= 1;

в) у = х²— 4а-}-5, у = 0, х = 0, а = 4; г) у — х²— 4а + 5, у = Ъ.

361. а) у= 1—лг³, у = 0, а = 0;

б) у = 2 — х³, у— 1, х= — 1, а=1;

в) у——х² — 4х, у — 0, х=—3, х= — 1;

г) у — — х² — Ах, у = 1, А' = — 3, х = — 1.

Вычислите интегралы (362—363).

2л 2 Зл 6

362. $ sin \dx-. б) J в) J г) J-£=

Л ³ _i тЛ2*+5 ^J_{0 C0S},JL _l^+3

2л 9

3 2 ²

. a) J (sin |-cos с?а; б) J (1 +2а)³ dx\ о о

л

12 4

в) 5 (1 +cos 2а) dx\ ^г) S(*+*)

Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фи­гуры, ограниченной линиями (364—366).

364. а) у=х, у = 8, х

б) у~2 cos х, у =

в) у==х²— 2а + 4, у = 3, х = — 1;

г) // = sin х, t/ = y-, * = -§-, ^x=f¹-

365. a) y = Ax — x², y = A — x\

б) У=^т> У = 2x, x = A;

в) y = x², y = 2x\

r) y = 6 —2a, y = 6-J-A —A².

366. a) y = x² — 4a + 4, y = A — a²;

6) y=a² —2a + 2, i/ = 2 + 6a —a²;

^B) */ = *², y = 2a —a²;

г) у = a², t/ — a³.

367. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функ­ции у = 8х — 2а², касательной к этой параболе в ее вершине и прямой а = 0.

368. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функ­ции f (а) = 8 — 0,5а², касательной к нему в точке с абсциссой х——2 и прямой А = 1.

а) \(f(*)+g (*)) dx=\ f(x)dx+\g (х) dx\

а а а

Ь Ь

б) \ kf (х) dx—k \ f (х) dx (где k — постоянная).

31. Применения интеграла

1. Вычисление объемов тел. Пусть задано тело объемом V, причем имеется такая прямая (рис. 125), что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь 5 сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпен­дикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следо­вательно, каждому числу х (из отрезка [а; Ь\ см. рис. 125) постав­лено в соответствие единственное число 5 (х) — площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; 6] задана функ­ция 5 (х). Если функция 5 непрерывна на отрезке [<а; Ь\ то спра­ведлива формула

ь

V=\s{x)dx. (1)

а

Полное доказательство этой формулы дается в курсах математи­ческого анализа, а здесь остановимся на наглядных соображе­ниях, приводящих к ней.

Разобьем отрезок [а; Ь] на п отрезков равной длины точка­ми хо = аСх\ <%2<...<*n-i <b=x„, и пусть

■Xk — Xk-i, k = \, 2,

(см. п. 30). Через каждую точку х* проведем плоскость, перпен­дикулярную оси Ох. Эти плоскости разрезают заданное тело на слои (рис. 126, а, б). Объем слоя, заключенного между плоскос­тями a*_i и а к, при достаточно больших п приближенно равен площади S (xk-1) сечения, умноженной на «толщину слоя» Дх,

и поэтому

(х₀) Дх + S (*|) Дх-}- + S(x„_₁) Ax = V_n.

Точность этого приближенного ра­венства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, т. е. чем больше п. Поэтому V„ —*~V при п —► оо. По определению ин­теграла

b

V_n —► J 5 (x) dx при n—>- oo.

a

О Пример 1. Докажем, что объем усеченной пирамиды вы­сотой Н с площадями оснований S и s равен Н (S + s + -yJSs).

Пусть точка О — вершина «полной» пирамиды (рис. 127). Проведем через точку О ось Ох перпендикулярно основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды пересекают ось Ох в точках а и Ь. Каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пере­секающая отрезок [а; 6] этой оси в точке х, дает в сечении много­угольник, подобный многоугольнику — основанию пирамиды. Поэ­тому площадь сечения 5 (х) равна kx², и, в частности,

s = S (a) = ka² и S — S(b) = kb².

Объем усеченной пирамиды вычисляем по формуле (1):

V=$ kx²dx =у-1 ₀=-| -(b³ — a³)=^^:^-(kb²-\-kab-{-ka²) —

= f-(s+VS5+s).

Пр и м е р 2. Пусть криволи­нейная трапеция опирается на от­резок [д; Ь\ оси Ох и ограничена сверху графиком функции /, неот­рицательной и непрерывной на от­резке [а; Ь]. При вращении этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох получаем тело (рис. 128, а), объем которого находится по фор­муле

V =5 л/² (х) dx. (2)

А Рис. 127

Действительно, каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок [а; 6] этой оси в точке х, дает в сече­нии с телом круг радиуса f (х) и площади S (x) = nf ^[19] (х) (рис. 128, б). Отсюда по формуле (1) получается формула (2). #

2. Работа переменной силы. Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силы Р по прямой. Если дейст* вующая сила постоянна и направлена вдоль прямой, а перемеще­ние равно s, то, как известно из физики, работа А этой силы равна произведению Ps. Теперь выведем формулу для подсчета работы, совершаемой переменной силой.

Пусть точка движется по оси Ох под действием силы, проек­ция которой на ось Ох есть функция f от х. При этом мы будем предполагать, что f есть непрерывная функция. Под дейст­вием этой силы материальная точка переместилась из точки М (а) в точку М (b) (рис. 129, а). Покажем, что в этом случае ра­бота А подсчитывается по формуле

ь

А=\ f (*) dx. (3)

а

Разобьем отрезок [а; Ь] па п отрезков одинаковой длины Дх=—Это отрезки [я; *|], [агь хч\ [x_n-i', b] (рис. 129,6).

Работа силы на всем отрезке [а; b] равна сумме работ этой силы на полученных отрезках. Так как f есть непрерывная функция от х, при достаточно малом отрезке [а; Х\] работа силы на этом от­резке приблизительно равна f (a) (x_t — a) (мы пренебрегаем тем, что f на отрезке меняется). Аналогично работа силы на втором отрезке [х\\ лгг] приближенно равна f (хi) (*2 — *i) и т. д.; работа силы на п-м отрезке приближенно равна / (a'„_i)(6— x„-i). Следо-

М(а) МСЬ) М(а) М(Ь)

---- 1------ 1 1-- >- --------!■■■■ Н 1- 1 I-- 1 — ■>»

О а b х 0 а=х₀ х_г х₂ ••• *n-i ^xn⁼b *

а) б)

вательно, работа силы на всем отрезке [а; b] приближенно равна:

A&A_n = f (a) &x-\-f (. х\ ) (x„_i) Ах =

— (^а) + / (*1)+•••+/ (*«-l)),

и точность приближенного равенства тем выше, чем короче отрез­ки, на которые разбит отрезок [а\ Ь\ Естественно, что это прибли­женное равенство переходит в точное, если считать, что п—*~оо:

A_n=±=Z(f(a)+f(_Xl) +...+f(x„-,))^A.

Поскольку А_п при поо стремится к интегралу рассматри­ваемой функции от а до b (см. п. 30), формула (3) выведена. О Пример 3. Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пру­жину на 5 см?

По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величину х, вычисляется по формуле F = kx, где k — постоянный коэффи­циент пропорциональности (рис. 130), точка О соответствует сво­бодному положению пружины. Из условий задачи следует, что

3 = 6-0,05. Следовательно, 6 = 60 и сила F=60х, а по формуле (3)

С „ I 0,05

А— \ bOxdx = ЗОх I ₀; А = 0,075 Дж. 0

о

V 3. Центр масс. При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:

1) Координата х' центра масс системы материальных точек А\, А₂,..., А_п с массами тi, m2, т_п, расположенных на прямой в точках с координатами Х\, X2,..., х_п, находится по формуле

(4)

			X

b

а) суммарная масса M стержня равна $ р (x) dx\

а

Ь

б) координата центра масс х' равна $ лгр (%) dx.

а

Разобьем отрезок [а\ b] на п равных частей точками а =

— Х0СХ1СХ2С...Сх_п = Ь (рис. 129, б). На каждом из п этих от­резков плотность можно считать при больших п постоянной и при­мерно равной р (Xk-i) на k-м отрезке (в силу непрерывности р (х)).

Тогда масса &-го отрезка примерно равна nik—^-^- p(a:*_i),

а масса всего стержня равна —-^(р (*о) + р (*i) +... + p (л:_я +1)).

Считая каждый из п маленьких отрезков материальной точкой массы mk, помещенной в точке Xk-1, получим по формуле (4), что координата центра масс приближенно находится так:

^__ q

-------- (*0Р (x₀)-f XiP (Xi) +...+X„_,p (*„_i))

_x'_{n =} ___ 4

--- — (p (*<>) + P (*i) +... + p (x„_i))

Теперь осталось заметить, что при п—*■ оо числитель стремится к интегралу \ лгр (%) dx, а знаменатель (выражающий массу всего

а р

стержня) — к интегралу j р (х) dx.

а

Для нахождения координат центра масс системы материальных точек на плоскости или в пространстве также пользуются фор­мулой (4). фА

Упражнения

370. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

а) У=х²+ 1, х = 0, х=\, t/ = 0;

б) у=-фс, х=1, х—4, у — 0;

в) у—фх, х= 1, у = 0;

г) у=[—х², у — 0.

371. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

а) у=х², у=х\ б) у = 2х, у=х-1-3, л: = 0, х— 1;

в) У = х+ 2, у=\, х = 0, х = 2\ г) у—-у/х, у = х.

372. а) Выведите формулу объема шарового сегмента радиуса R и высоты Н.

б) Выведите формулу объема усеченного конуса высотой Н с радиусами оснований R и г.

373. Какую работу надо затратить на сжатие пружины на 4 см, если известно, что сила в 2 Н сжимает эту пружину на

1 см?

374. Сила в 4 Н растягивает пружину на 8 см. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 8 см?

375. Под действием электрического заряда величиной q электрон перемещается по прямой с расстояния а до расстояния b. Найдите работу силы взаимодействия зарядов. (Рассмот­рите два случая: 1) a <b, q< 0; 2) 6<а, ^>0. Коэф­фициент пропорциональности в формуле, выражающей закон Кулона, считайте равным у.)

376. Канал имеет в разрезе форму равнобочной трапеции высо­той h с основаниями а и Ь. Найдите силу, с которой вода, заполняющая канал, давит на плотину (а~>Ь, а — верхнее основание трапеции).

377. Вода, подаваемая с плоскости основания в цилиндрический бак через отверстие в дне, заполняет весь бак. Определи­те затраченную при этом работу. Высота бака равна Л, радиус основания равен г.

378. Найдите работу против силы выталкивания при погружении шара в воду.

379. Однородный стержень длиной / = 20 см вращается в гори­зонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. Угловая скорость вращения со = 10л с^-1. Площадь поперечного сечения стержня 5 = 4 см², плот­ность материала, из которого изготовлен стержень, равна р = 7,8 г/см³. Найдите кинетическую энергию стержня.

380. Найдите центр масс однородного прямого кругового конуса.

Сведения из истории

1. О происхождении терминов и обозначений. История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры матема­тики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Латинское слово quadrature переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в ан­тичное время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты привычные для нас представления о действи­тельных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя пере­множать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновели­кий данному кругу». (Эта классическая задача «о квадратуре круга» не может, как известно, быть решена с помощью цир­куля и линейки.)

Символ \ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы 5 (первой буквы слова summa). Са­мо слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероят­но, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Дейст­вительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функ­ция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово in­teger означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с пред­ложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики — интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные вам термины, относящиеся к интеграль­ному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латин­ское слово primitivus переводится как «начальный»: F (х) —

=\ f (х) dx — начальная (или первоначальная, или первообраз­ная) для f (х), которая получается из F (х) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f (х) называется также неопределенным интегралом. Это

понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообраз-

ъ

ные функции отличаются на произвольную постоянную. А\ f (х) dx

а

называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768—1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

2. Из истории интегрального исчисления. Многие значитель­ные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с при­менением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н. э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся

как квадраты их диаметров, а объем конуса равен -j- объема

цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. С этой модификацией вы знакомы: вывод формулы площади круга, пред­ложенный в курсе геометрии, основан на идеях Архимеда. Напомним основные этапы, характеризующие метод Архимеда:

1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограни­ченном удвоении числа сторон разность площадей этих много-

Архимед

(ок. 287—-212 до н. э.) — великий ученый* Первооткрыватель многих фактов и методов математики и механики, блестящий инженер. Глубокие и остроумные идеи Архимеда, связанные с вычислением площадей и объемов, решением задач ме­ханики, по существу, предвосхищают откры­тие математического анализа, сделанное поч­ти 2000 лет спустя.

угольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвое­нии числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроум­ных соображений (в том числе с привлечением моделей механики)

Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа л^З |у-<л<

<3-у-^, нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента па­раболы и т. д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: соглас­но его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в

цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен —

объема цилиндра).

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, преж­де чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые резуль­таты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воз­зрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 131, о) они представляли себе составленной из вертикаль­ных отрезков длиной f (х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f (х) dx. В соот­ветствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

Риман Георг Фридрих Бернхард

(1826—1866) — немецкий ученый, один из крупнейших мате­матиков XIX столетия. Сделал замечательные открытия в теории чисел и теории функций комплексного переменного. Заложил основы новой неевклидовой геометрии, получившей название римановой. Создал теорию интег­рала, обобщающую результаты Коши.

S = 2 f (х) dx

а<х<Ь

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме — нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. К е п л е р (1571 —1630) в своих сочинениях «Новая ас-

Чебышев Пафнутий Львович

(1821—1894) — русский математик и механик. Его исследо­вания, получившие мировое признание, от­носятся к теории приближения функций мно­гочленами («многочлены Чебышева» наилуч­шего приближения), интегральному исчисле­нию, теории вероятностей, теории меха­низмов.

трономия» (1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на беско­нечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598—1647) и и Э. Торричелли (1608—1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 131,6, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y=f(x) и y=f (х)-\-с.

Представляя нашу фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикаль­ном направлении, мы можем составить из них прямоугольник с основанием b — а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т. е.

S = S\=c {Ь — а).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур фор­мулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Oj и Фг по отрезкам равной длины (рис. 131, в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф₂ равны. (В духе рассуждений мате­матиков XVII столетия мы опускаем оговорки, без которых это утверждение не совсем верно.)

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов. Простейшие следствия принципа Кавальери вы можете вывести сами. Докажите, на­пример, что прямой и наклонный цилиндры с общим основанием и высотой имеют равные объемы.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 г. решил задачу квадратуры любой кривой у=х^п, где п — целое (т. е. по

существу вывел формулу J xⁿdx=-^j*^л+|), и на этой основе ре­шил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630—1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию свя­зи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многи­ми чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установйть связь операций дифференцирования и интегрирова­ния, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона — Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: диффе­ренциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в сле­дующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эй­лера, завершившего систематическое исследование интегрирова­ния элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интеграль­ного исчисления приняли участие русские математики М. В. О с т- роградский (1801 —1862), В. Я. Б у н я к о в с к и й (1804— 1889), П. Л. Чебышев (1821 —1894). Принципиальное значе­ние имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функ­ции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прош­лом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Рима- н а (1826—1866), французского математика Г. Д а р б у (1842— 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием пло­щадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Ж о р д а- ном (1838—1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Л е- бегом (1875—1941) и А. Д а н ж у а (1884—1974), советским математиком А. Я. Хинчиным (1894—1959).

Лебег Анри

(1875—1941) —

французский математик. Создатель теории меры (обобщение понятий площади и объе­ма), на основе которой разработал новую теорию интеграла.

Вопросы и задачи на повторение

1. 1) Сформулируйте определение первообразной.

2) Докажите, что функция F является первообразной для функции / на R:

а) f{x)=2х + 3, f (лг) = х² +Зх-f 1;

б) f (x) = sin 2x-f-3, F {x) = -^cos^- -f-3x;

в) f(x)= — x³ +5, F(x)= —^-+5л:+2;

Г) f (*)=— cos^-+l, F(x)= — 2 sin -Y+X.

3) Является ли функция F первообразной для функции / на заданном промежутке:

а) F(x) = x² — х, f (х) = 2х —1 на/?;

б) F (х)=-^2— sin х, f (*)=—j-cos jc на /?;

в) F{x)=x*+ 1, f(x)=-Y+x на Я;

г) F (*) = a:-|-cos x, f (x)= 1 — sin x на R?

2. 1) Сформулируйте признак постоянства функции на заданном

промежутке. Сформулируйте основное свойство первооб­разной.

2) Запишите общий вид первообразных для функции: ^а) f (x) = kx-\-b (k и b — постоянные); б) f (х) = — ^ -;

в) f(x)=xⁿ (п — целое число, пФ — 1); г) f (x)=cos х.

Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в данной точке:

f (x) = sin х — cos х, F(n)=\; 6) f — —“т > F (3) = 5; f(x)=2x-5, F(l)=-2; r) f [x)=-L=, F(6)=10.

л/jc—2

3. 1) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.

2) Найдите общий вид первообразных для функции:

/ (лг) = sin Зл:----- —; б) /(jc)=^{3 1}

^х ' ’ ' ⁷ 2 л[х ’

cos ₂

В) f (х)=(4 — 5х)³ —(_2л,-_ ₁₎₃; Г) f(x)=x— 10 cos 2х.

3) Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М:

f(x)=(2-3xf, М(1; 2); б) /(*)=sin 2*. м(-=-; -2);

в) /(x)=V2cosx, м(-2-; 2); г) f (*)=--’ М (0; 3).

4. 1) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Запи­

шите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

2) Приведите примеры криволинейных трапеций.

3) Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную дан­ными линиями, и найдите ее площадь:

a) t/ = sin x_f у = 0, * = -£-, ^х = ^~> ^б) У=—^х3> У = 0, *=—2;

в) у = (х — I)², у = 0, х=3;

г) у = 3 — 2х —х², у = 0, х = 0, х=—2.

5. 1) Объясните, что такое интеграл.

2) Запишите формулу Ньютона — Лейбница. Вычислите ин­теграл:

3 2 л 3

f dx

; б) \; в) J sin xdx\ г) $ x?dx.

-3

T

3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: a) t/ = *², у = Зх; б) у = х² — 4х + 6, у=1, х=1, х = 3;

у=4—х², t/ = 3; г) t/ = cos х, у=1, х=—у-, х=~.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ