Ф (x) — F (x)-fC

Доказательство. 1) По условию функция F — перво­образная для f на промежутке /. Следовательно, F' (x)=f (х) для любого х£/, поэтому

(F (х) + С)' = F' (х) ■+ С' = f (х) + 0 = f (х), т. е. — первообразная для функции f.

Рис. 118

Пусть Ф (х) — одна из первообразных для функции f на том же промежутке /, т. е. Ф' (x)~f (х) для всех х£1. Тогда

(Ф (х) - F (X))' = Ф' (x) — F' (х) = f(x)-f (х) = 0.

Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что раз­ность Ф (х)— F (дс) есть функция, принимающая некоторое постоян­ное значение С на промежутке /.