Определение. Функция F называется первообразной для функцииfна заданном промежутке, если для всеххиз этого промежутка

F'(x)=f(x). (4)

д.3

О Пример 1. Функция F (х)~ — есть первообразная для функции f(x) = x² на интервале (— оо; оо), так как

TW=f^3i!=*^!=fW

для всех х£(—оо; оо).

х³

Легко заметить, что -—\-7 имеет ту же самую производную

х² и поэтому также является первообразной для х² на R. Ясно, что вместо числа 7 можно поставить любую постоянную. Таким образом, мы видим, что задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений. В следующем пункте вы увидите, как найти все эти решения.

Пр и мер 2. Для функции /(х)=-р на интервале (0; оо)

■у/Х

первообразной является функция F (х) — 2^/х, так как

FW=(2^=2~=7=fW

2 У* ух

для всех х из этого интервала. Так же как и в примере 1, функция F(x) — 2 д/х + С при любой постоянной С есть первообразная для

функции /(х) = -р на том же интервале (0; оо).

V*

Пр и мер 3. Функция /^г(х)=-^-не является первообразной

для функции /(х)=—на промежутке (— оо; с»), так как ра­венство F^r (х) = / (х) не выполнено в точке 0. Однако в каждом из промежутков (—оо;0) и (0; оо) функция F является пер­вообразной для /. ф

Упражнения

326. Докажите, что функция F есть первообразная для функ­ции / на указанном промежутке:

а) F(x) = x⁵, f (х) = 5х⁴, х£(—оо; с»);

б) F(x) = x~³, /(*)=— Зх~⁴, х£ (0; оо);

в) F(x)=-j-x⁷, f (х) = х⁶, х£(— оо; оо);

г) F(x) — —-|-х“⁶, / (х) = х“⁷, х6(0; оо).

327. Является ли функция F первообразной для функции / на ука­занном промежутке:

а) F (х) = 3 — sin х, / (x) = cos х, х£(—оо; оо);

б) F (х) = 5 — х⁴, f(x)=—4х³, х£(—оо; оо);

в) F (x) = cos х — 4, f (х)= — sin х, х£(— оо; оо);

г) F(x)=x~² + 2, /(х)=2рг, ^6(0; оо)?

Найдите одну из первообразных для функции f на R (328— 329).

328. a) f(x) = 3,5; б) f(x) = cosx; в) f(x) = 2х; г) f(x) = sinx.

329. a) f(x)= — sinx; б) f(x)=—x\

в) f(x)= — 4; г) f (х)= —cos х.

330. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке:

а) F (x) = sin² х, /(х) = sin 2х, x£R\

б) F (x)=-j-cos 2х, f (х)= — sin 2х, x£R;

в) F (х)=sin Зх, f(x) = 3 cos Зх, x£R\

г) F(x)=3+tg-f, /w=—. *€(-«; л).

2 cos'¹ y

331. Является ли функция F первообразной для функции / на ука­занном промежутке:

а) F(x)=2x-)-cos-|-, /(*) = 2—i-sin-g-,

б) F{x)=^Ji~x\ f(x)=---------- -i—, х£(-2; 2);

—jc

в) fW=¹4—х£(0; оо);

г) F(x) = 4хл/х, f (х) = бд/х, х£(0; оо)?

332. Найдите одну из первообразных для функции / на Я:

a) f (х)=х + 2; б) f (x)=(sin -f- — cos;

в) / (x) = sin² x-f-cos² x; r) /(x) = 3x² + l.

333. Найдите две первообразные для функции f:

а) /(х) = 2х; б) / (х)= 1 — sin х;

в) /(х)=х²; г) f (x) = cos х + 2.

334. Среди трех данных функций укажите такую, что две другие являются соответственно производной и первообразной для нее:

а) f(x)=jr, g(x)=—y, h(x)=—jr;

х^г

б) f (х)~— cosx, g (х) = 1-f-cos х, h (x)=x4~sin x;

в) / (x) = 1, g(x) = x~\r2, /t(x) = y-+2x;

r) f (x)=3 — 2 sin x, g (x) = 3x4-2 cos x, h(x)=—2 cos x.

27. Основное свойство первообразной

1. Общий вид первообразных. Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверж­дение:

Признак постоянства функции. Если F'(х) = О на некотором промежутке I, то функция F — постоянная на этом промежутке.

Доказательство. Зафиксируем некоторое Хо из проме­жутка /. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число с, заключенное между х и хо, что

F (х) — F (х₀) — F' (с) (х — хо).

По условию F'(с) = 0, так как с £1, следовательно,

F (х) — F (л'о) = 0.