![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Обозначим через 6 наименьшее из чисел 6i и 62. Тогда для любого х, удовлетворяющего неравенству 0< \х — а| <6, выполнены неравенства (1) и (2); для этих х имеем:
\f(x) + g(x)-(A + B)\ = \(f(x)-A) + (g(x)-B)\^\f(x)-A\ +
+ 1 gW-B|<y+Y = e.
Этим доказано, что lim (f (x)-\-g (х)) = А-\-В.
х-*а
Остальные правила (для произведения и частного) доказываются аналогично.
Яркие характеристики глубины переворота в математике, происшедшего в XVII в., дали Карл Маркс и Фридрих Энгельс. Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как «мистический».
Лозунгом многих математиков XVII в. был: «Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет».
Кантор Георг
(1845—1918) — немецкий математик, идеи и работы которого оказали большое влияние на развитие математики в целом, на понимание ее основ. Создатель теории множеств. Получил ряд замечательных результатов, относящихся к теории бесконечных множеств, теории действительного числа.
3. О понятии действительного числа. Математический анализ возник в XVIII в. Но полное его обоснование было дано лишь в конце XIX столетия, когда вслед за теорией пределов, созданной Коши, сразу в нескольких формах немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831—1916), К. В е й е р ш т р а с с о м (1815—1897) и Г. Кантором (1845—1918) была построена теория действительного числа.
Первые представления о числах складывались постепенно под влиянием практики. С давних пор числа употреблялись при счете и измерении величин.
Ответ на вопрос: «Сколько элементов содержит данное конечное множество?» — всегда выражается либо натуральным числом, либо числом нуль. Следовательно, множество
{0; 1; 2;...}
всех неотрицательных чисел обслуживает все потребности счета.
Иначе обстоит дело с измерением величин. Расстояние между двумя пунктами может равняться 3,5 километра, площадь комнаты — 16,45 квадратного метра и т. д.
Величины бывают разных родов. Приведем два примера.
1. Расстояния между точками, длины отрезков, ломаных и кривых линий — это величины одного и того же рода. Их выражают в сантиметрах, метрах, километрах и т. д.
2. Длительности промежутков времени тоже величины одного и того же рода. Их выражают в секундах, минутах, часах и т. д.
Величины одного и того же рода можно сравнивать между собой и складывать:
1 м > 90 см 350 м + 650 м = 1 км
300 с < 1 ч 2 ч+ 3 ч = 5 ч
1 кг>720 г 500 г+ЬООг “=1 кг
Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм
(1815—1897) — немецкий математик, доказавший классические теоремы в различных областях математики. Работы Вейерштрасса по обоснованию математического анализа, по существу, завершают создание строгой стройной теории.
Но бессмысленно спрашивать, что больше: 1 метр или 1 час, и нельзя сложить 1 метр с 30 секундами. Длительность промежутков времени и расстояние — величины разного рода. Складывать и сравнивать величины разного рода нельзя.
Величины можно умножать на положительные числа и нуль. В результате умножения величины а на неотрицательное число х получается величина Ь — ха того же рода. Приведем несколько примеров:
5*20 см = 100 см = 1 м
0, 01*20 см = 0,2 см =2 мм 0*20 см = 0 см
Приняв какую-либо величину е за единицу измерения, можно с ее помощью измерять любую другую величину а того же рода. В результате измерения получим, что а = хе, где х — число.
Это число х называется числовым значением величины а при единице измерения е. Числовое значение величины зависит от выбора единицы измерения. Если, например, длина комнаты имеет числовое значение 5,6 при единице измерения в 1 м (е— = 1 м), то эта же длина имеет числовое значение 560 при единице измерения в 1 см (е= 1 см).
Пусть числовые значения величин а и b при одной и той же единице измерения е равны х и у, т. е. а — хе, Ъ—уе. Если ЪФ0V
то отношение — называют отношением величины а к Ь.
У
Таковы простейшие сведения о величинах. Приведенное описание понятия величины опиралось на понятие числа. Но исторический путь был иным: положительные действительные числа появились как отношения величин (а точнее, как отношения длин отрезков).
С открытием несоизмеримости диагонали единичного квадрата с его стороной стало ясно, что отношение длин отрезков не всегда может быть выражено не только натуральным, но и рациональным числом. Для того чтобы числовое значение каждого отрезка при фиксированной единице измерения было определено, требовалось введение новых чисел — иррациональных.
Все практические измерения величин имеют лишь приближенный характер. Их результат с требуемой точностью можно выразить при помощи рациональных дробей или более специальным образом — при помощи конечных десятичных дробей. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1 м с точностью до одного сантиметра, мы обнаружим, что ее длина приближенно равна 1,41 м. При измерении с точностью до одного миллиметра получим, что эта длина приближенно равна 1,414 м.
Но в математике часто отвлекаются от приближенного характера практических измерений. Последовательный теоретический подход к измерению длин отрезков приводит к необходимости рассмотрения бесконечных десятичных дробей. (Именно такие
дроби представляют числа -|-= 0,666..., д/2 = 1,41421356..., я =
= 3,14159265....)
Отношение длины любого отрезка к длине отрезка, принятого за единицу измерения, всегда может быть выражено числом, представляемым в виде бесконечной десятичной дроби.
Полная теория действительных чисел довольно сложна и не входит в программу средней школы. Но с одним из способов ее построения мы познакомимся в общих чертах.
1. Принимают:
а) каждому действительному числу соответствует (в качестве его записи) бесконечная десятичная дробь:
х — ао,ща2аз ап ...;
б) каждая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа.
Но при этом естественно считать десятичную дробь заканчивающуюся бесконечной последовательностью девяток, лишь второй записью числа, выражающегося десятичной дробью, заканчивающейся бесконечной последовательностью нулей:
0, 9999... = 1,0000...; 12,765999... = 12,766000....
Такое соглашение поясним примером:
0, (9) = 3-0,(3) = 3 •{-=!.
Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с девяткой в периоде, получаем взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей.
Число а0 — это целая часть положительного числа х, а х—00=0,010203... о„... —
дробная часть числа х.
Число хп = a0,aiа^... ап называют десятичным приближением х с точностью до 10~л по недостатку, а число х'п=хп-\- 10-л называют десятичным приближением с точностью до 10-л по избытку для числа х = ао ,... ап ••• •
Если число х отрицательно, т. е.
х=— a0,aia2a3... ап...,
то полагают
х'п= —ао,а\а2аз ... ап и
Хп — Хп— 10“".
2. Вводят правило сравнения двух действительных чисел. По определению число х меньше числа у, если хотя бы при одном п выполнено неравенство хп < уп, где хп и уп — десятичные приближения с точностью до \0~п по недостатку для чисел хну. (Мы воспользовались тем, что правило сравнения конечных десятичных дробей уже известно.)
3. Определяют арифметические действия над действительными числами (при этом также пользуются тем, что эти действия уже определены для конечных десятичных дробей).
Суммой двух десятичных чисел х и у (обозначается х-\-у) называют такое действительное число z, что при любом п выполнены неравенства
Хп +Уп < х +у С х'п + у'п.
В курсах математического анализа доказывается, что такое число существует и определяется единственным образом.
Аналогично произведением двух неотрицательных чисел х и у называют такое число z (обозначается ху), что при любом п выполнены неравенства
хпуп^хусх'п у п.
Такое число существует и определяется однозначно. Для действительных чисел разных знаков, воспользовавшись тем, что произведение неотрицательных чисел |л:| и \у\ уже определено, полагают ху— — \х\ \у\; в остальных случаях ху=\х\ \у\. (Как обычно, модулем каждого из чисел
а0, а{а2... ап... и — а0, ata2... а„... называют число ао, «1^2 ••• Ол ••• •)
Вычитание определяется как действие, обратное сложению: разностью х — у чисел хи у называется такое число z, что y-\-z — xt а деление — как действие, обратное умножению: частным х:у называется такое число z, что yz = x.
4. Показывают, что неравенства и арифметические операции, определенные указанным в п. 3 образом, сохраняют основные свойства, присущие им в множестве рациональных чисел.
Вопросы и задачи на повторение
1. 1) Что такое приращение аргумента и приращение функции?
2) В чем состоит геометрический смысл приращений Дх и
Д/? отношения ^-?
' Ах
3) Выразите через х0 и Ах:
a) f (х) = х2 — х\б) f(x) = x 3-f 2; в) f(x) = 3x — 1; г) [ (х)=^.
2. 1) Сформулируйте определение производной функции в точке.
2) Пользуясь определением, найдите производную функции f в точке х0:
a) f(х) = х2+1, х0=-2; б) / (*)=~, х0 = 3; в) / (х) — 2х— 1, Хо ——4; г) / (лг) = х3, Хо = 2.
3. 1) Сформулируйте правила вычисления производных. Чему равна производная функции f(x) = xn (п — целое число)?
2) Дифференцируемая функция f задана графиком (рис. 117). Постройте касательные к графику / в указанных точках и найдите приближенные значения производной в точках
а, Ь, с, d.
3) Продифференцируйте функцию:
а) / (*) = (*+ 2) sin*; б) f (х) = -~^7~:К;
в) f(x)=x3 — ~+cos3x; г) f(x)=^.
4. 1) Какую функцию называют непрерывной на промежутке?
2) Найдите промежутки непрерывности функции:
У' | |||||||||||||||||
** | S | ||||||||||||||||
/ | Ч | ||||||||||||||||
V | |||||||||||||||||
/ | > | ||||||||||||||||
/ | V | ||||||||||||||||
> | |||||||||||||||||
у | _6_ | 0. | Л | (1 | i | х. | |||||||||||
г |
a) l(x)=- 6) f(*)=l- 2 tg*;
B) f W=x!_3^_io ; Г) f(x)=x* — 3x2 + 7.
3) Решите неравенство методом интервалов: а) -4тН—5-г>1; б) х4-15*2-16<0;
’ jt + 4 ' х+1
в) г) —!)(-*■ — 2)(лг + 4)>О-
5. 1) Какую прямую называют касательной к графику функции / в точке (х0; f (*о))?
2) В чем состоит геометрический смысл производной?
3) Напишите уравнение касательной к графику функции / в точке (х0; f (лг0)):
a) f (х) = cosx, х0=у-; б) f(x) = ~, х0 = 2;
в> f(x) = smx, *0 = л; г> f(x) — x'2t х0= —
6. 1) Запишите общую формулу для приближенного вычисления значения функции, дифференцируемой в точке лго-
2) Выпишите формулы для приближенного вычисления значений функции:
a) f(x)=xn\ б) f(x) = cosx; в) f (х)=^[х\ г) =
3) Вычислите приближенные значения:
а) щрг; б) sin 59°; в) г) 0,99915.
7. 1) В чем состоит механический смысл производной?
2) Тело движется по прямой согласно закону х (/). Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.
3) Найдите скорость и ускорение точки в момент /0, если:
a) x(t)=t3 — 2/2-f-5, /о = 4; б) х (t) = 3 cos 2t, в) x(t) = 5t — t2, fo = 2; г) л: (/) = 2^2 -f- / — 4, to = 4.
8. 1) Запишите формулу Лагранжа.
2) Сформулируйте признак возрастания (признак убывания) функции.
3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию: ®) 9; */=3*—sin 3*‘>
в) у = хА — 4х; г) у = х2+^-.
9. 1) Какую точку называют критической точкой функции?
2) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.
3) Исследуйте на максимум и минимум функцию:
а) У=\—х4; б) у = 2 sin x-f-cos 2х;
в) у — х3 — Зх; г) у = х — tg х.
10. 1) Опишите схему исследования функции.
2) Исследуйте с помощью производной функцию:
a) f М=х+Т~^: б) fW=f+T;
в) f (х) = х3 — Зх2 — 9х\ г) f(x) = ~^.
3) Исследуйте по общей схеме функцию / и постройте ее график:
a) /(*) = *2—1-; б) f (х) = х2(х — 2)2;
в) f (х) = 2х2-\-Зх— 1; г) f (х) = А—{-х2 — Зх+1.
11. 1) Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке:
а) / (х) — 0,8хб — 4х3, [— 1; 2]; б) /(*)=* — sin 2лг, [о; —-J;
в) f(x) = 3x2-2x\ [— 1; 4]; г) / (х) = х2 (6-х), [—1; 5].
3) а) Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа, чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?
б) Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
26. Определение первообразной
Вспомним пример из механики. Если в начальный момент времени t — 0 скорость тела равна 0, т. е. v (0) = 0, то при свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь
*(0=?. (1)
Формула (1) была найдена Галилеем экспериментально. Дифференцированием находим скорость:
5' (/) = Ц (/) = £/. (2)
Второе дифференцирование дает ускорение:
v' (t)=a(t)=g, (3)
т. е. ускорение постоянно.
Более типично для механики иное положение: известно ускорение точки а (t) (в нашем случае оно постоянно), требуется найти закон изменения скорости v (t), а также найти координату s (t). Иными словами, по заданной производной v' (/), равной а (/), надо найти v (t), а затем по производной s' (t), равной v (t), найти s (t).
Для решения таких задач служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования. С ней мы познакомимся в этой главе.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1331 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!