Будет наибольшей или наименьшей

309. Скорость материальной точки, движущейся прямолинейно,

изменяется по закону v (f) = -y/³—12^ (скорость измеряется

в метрах в секунду). В какой момент времени ускорение дви­жения будет наименьшим, если движение рассматривать за промежуток от /₍ = 10 с до /₂ = 50 с?

310. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на данном промежутке:

a) f (х) = 2 sin x-f-cos 2л:, [0; 2л]; б) f (х) = l,5x² + y, [1; 4];

^в) / М — 2 sin х + sin 2х, £о; y-j;

г) = у, [—5; —2,5].

311. Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наи­меньшей.

312. Число 4 представьте в виде суммы двух неотрицательных сла­гаемых так, чтобы произведение этих чисел было наиболь­шим.

313. Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовал­ся прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны пря­моугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

314. Число 54 представьте в виде суммы трех положительных сла­гаемых, два из которых пропорциональны числам 1 и 2, таким образом, чтобы произведение всех слагаемых было наи­большим.

315. Число 16 представьте в виде произведения двух положитель­ных чисел, сумма квадратов которых будет наименьшей.

316. Площадь прямоугольника 64 см². Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?

317. Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллеле­пипеда с квадратным основанием, должен вмещать 13,5 л жидкости. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?

318. В равнобедренный треугольник с основанием 60 см и боковой стороной 50 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Две вершины прямоугольника лежат на основании треуголь­ника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите длины сторон прямоугольника.

319. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сече­нием наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 20 см.

320. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в населен­ный пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта?

321. Лодка находится на озере на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от Л (участок АВ
берега считаем прямолинейным). Лодка движется со ско­ростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?

322. Найдите число, сумма которого со своим квадратом прини­мает наименьшее значение.

323. Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с задан­ной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедрен­ный треугольник.

324. Из всех прямоугольников, вписанных в окружность, найдите прямоугольник наибольшей площади.

325. Покажите, что из всех равнобедренных треугольников, впи­санных в данный круг, наибольшую площадь имеет равно­сторонний треугольник.

Сведения из истории

1. О происхождении терминов и обозначений. Раздел матема­тики, в котором изучаются производные и их применения к иссле­дованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращения вида А/, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differential нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей; это название появилось уже в конце XVII в., т. е. при рождении нового метода.

Термин «производная» является буквальным переводом на рус­ский французского слова derivee, которое ввел в 1797 г. Ж. Л а- гранж (1736—1813); он же ввел современные обозначения у', Такое название отражает смысл понятия: функция f' (х) происходит из f (х), является производным от f (х). И. Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию — флюентой. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и

обозначал Производную как 4j-. Это

обозначение также часто встречается в современной литературе.

Символ df Лейбниц выбрал для обозначения дифференциала функ­ции /. Дифференциал df функции f — это произведение производной f' (хо) на приращение Ах, т. е. df = f' (лго) Ах; заменяя обозначение Ах на dx, это же можно записать так: df=f' (xo)dx,

откуда f'(хо)=^. Геометрический смысл дифференциала ясен из рас­смотрения рисунка 115: здесь df=AB, прямая I — касательная к графику.

Лейбниц Готфрид Фридрих

(1646—1716) — великий немецкий ученый. Философ, матема­тик, физик, юрист, языковед. Создатель (на­ряду с Ньютоном) математического анализа. Основоположник большой математической школы. Идеи Лейбница оказали значительное влияние на развитие математической логики.

Ферма Пьер

(1601—1665) — французский математик и юрист. Один из крупнейших математиков своего времени. Ферма принадлежат блестящие работы в об­ласти теории чисел. Создатель аналитической геометрии, в которой он получил ряд круп­ных результатов.

создателей аналитическом геометрии. Он занимался и оптикой. Широко из­вестен принцип Ферма («Луч света распространяется так, что время его прохождения будет наименьшим»), при­меняемый и в современной физике.

Важные следствия этого принципа вы можете вывести самостоятельно. Закон отражения света («Угол отраже­ния равен углу падения») сводится согласно принципу Ферма к решению известной геометрической задачи. Для вывода закона преломления света вам потребуется применить известные пра­вила нахождения экстремума. (Тре­буется решить такую задачу (рис. 116): «Луч света проходит из точки М нижней полуплоскости в точку N верхней. Скорость света в нижней полуплоскости (одно­родной среде) постоянна и равна v\, а в верхней полуплоскости — V2. По какому пути должна двигаться точка, чтобы весь ее путь занял наименьшее время?»)

Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном, который сформулировал и две основные проблемы анализа:

«1. Длина проходимого пути постоянно (т. е. в любой момент времени) дана; требуется найти скорость движения в предложен­ное время.

2. Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути».

Первая проблема задает программу развития дифференциаль­ного исчисления, с элементами которого вы уже познакомились в этой главе. Вторая относится к интегральному исчислению (см. главу III).

Если Ньютон исходил в основном из задач механики (ньюто­нов анализ создавался одновременно с ньютоновой классической механикой), то Лейбниц по преимуществу исходил из геометри­ческих задач.

Говоря о последующем развитии идей анализа (а они очень быстро завоевали популярность и нашли многих последователей), следует в первую очередь назвать имена учеников Лейбница — братьев Я. и И. Бернулли.

А. Лопиталь (1661 —1704), который учился у И. Бернул­ли, издал уже в 1696 г. первый печатный курс дифференциаль­ного исчисления «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий», способствовавший распространению новых ме­тодов.

Ряд крупных результатов получил Лагранж, его работы сыгра­ли важную роль в осмыслении основ анализа.

Как и в случае многих других разделов математики, неоце­ним вклад в развитие математического анализа, внесенный Л. Эйлером и К. Ф. Гауссом (1777—1855).

В кратком очерке невозможно рассказать о существе откры­тий, сделанных в XVIII в. и позднее. Но об одном направлении нельзя не упомянуть. Речь идет о разложении функций в степен­ные ряды, т. е. о представлении функций в виде многочленов с бес­конечным числом слагаемых. С примером бесконечной суммы (числового ряда) вы знакомы: бесконечные периодические дроби представлялись в виде суммы бесконечного числа слагаемых. С числовыми и функциональными рядами работал не только Ньютон, но и его предшественники, и поэтому несколько неспра­ведливо название формула Тэйлора (Б. Тэйлор (1685— 1731) —английский математик, опубликовавший ее в 1715 г.), принятое для следующего замечательного соотношения:

/ (*„+д*)=/ ы+Цf дх+qpi (дх)Ч...+£^> (дхг+ ...

(здесь fⁿ⁾ (лго) — значение, полученное /г-кратным дифференциро­ванием функции f в точке *о, а п\ — 1 *2•...•«). Зная формулы производных, например, для функций sin х и cos х, вы можете разложить их в ряд Тэйлора самостоятельно.

Оказалось, что в ряде случаев, отбрасывая бесконечное чис­ло слагаемых, можно получать формулы, дающие хорошие приближения функций многочленами.

2) Энтузиазм, вызванный появлением нового мощного мето­да, позволяющего решать широкий круг задач, способствовал бурному развитию анализа в XVIII в. Но к концу этого столетия проблемы, возникшие уже у создателей дифференциального и интегрального исчислений, проявились весьма остро.

Основная трудность состояла в том, что точные определения таких ключевых понятий, как предел, непрерывность, действи­тельное число, отсутствовали (соответственно и рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были даже ошибочны). Характерный пример — определение непрерывности. Эйлер, Ла­гранж и даже Фурье (а он работал уже в начале XIX в.) назы­вали непрерывной функцию, которая в своей области определе­ния задана одним аналитическим выражением.

Тем самым «новая» математика не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на классических образцах греческих математиков. Интуиция, столь необходимая математикам, существенно опередила логику, тоже являющуюся неотъемлемой характеристикой математической науки. Гениаль­ная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, помогала им избегать ошибок. Но необходимы были прочные логи­ческие основы.

Характерны два высказывания, относящиеся к XVIII столе­тию. Известный математик М. Р о л л ь писал, что новое исчисле-

Коши Огюстен Луи

(1789—1857)— крупный французский математик. Доказал ряд замечательных теорем в области ана­лиза, теории функций комплексного перемен­ного, теории дифференциальных уравнений и т. д. Большая заслуга Коши — разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими опреде­ления предела, непрерывности функции и т. п.

Ние есть коллекция гениальных ошибок. А великий французский мыслитель Вольтер заметил, что это исчисление представляет со­бой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано.

Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы прошлого века французским математи­ком О. К о ш и (1789—1857), предложившим точные определения пределов функции и последовательности и на их основе доказав­шим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько рань­ше (1821 г.) определения предела и непрерывности, целый ряд других замечательных результатов (в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на промежутке, но не имеющей производной ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (1781 — 1848), но его работы стали известны много позднее.

Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А называется пределом функции f (х) при х, стремящем­ся к а (т. е. \irnf (х) = А), если для любого числа е>>0 можно

х->а