![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1) D (f) — R, так как f — многочлен.
2) Функция / не является ни четной, ни нечетной (докажите это самостоятельно).
3), 4) График f пересекается с осью ординат в точке (0; f (0)); чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение Зх5 — 5х3 + 2=0, один из корней которого (*==1) легко находится. Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства
мы находить не будем (как уже отмечалось в п. 4, приведенная схема имеет примерный характер).
5), 6) Найдем производную функции f:
/' (х) = 1 5л:4 — 15л:2 = 15л:2 (л:2 — 1).
D(f') = R, поэтому критических точек, для которых f'(х) не существует, нет.
Заметим, что f'(х) = 0, если х2 (х2—1) = 0, т. е. при значениях аргумента, равных 0, — 1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки.
Составляем таблицу:
X | (— оо; — 1) | -1 | (-1:0) | (0; 1) | 0; «>) | ||
+ | — | - | + | ||||
fix) | _______ ^ | ||||||
шах | min |
В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежутках. (На каждом таком интервале знак производной не меняется, его можно найти, определив знак производной в какой-либо точке рассматриваемого интервала.) В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции: «»— возрастает,
«» — убывает, а в четвертой — о виде критических точек
(пп. 5 и 6 приведенной выше схемы). Критическая точка 0 функции / не является точкой экстремума, поэтому в четвертой строке таблицы она не отмечена. Заметим, что вывод о ходе изменения функции на промежутке между критическими точками часто можно сделать, сравнив значения функции на концах этого промежутка (вместо определения знака производной). Например, f(0)cf(— 1), поэтому на промежутке (— 1; 0) функция убывает (и,
следовательно, f'с 0 на этом промежутке).
Строим график функции (рис. 111). Строить его удобно по промежуткам, которые указаны в таблице. Например, в таблице указано, что f убывает на интервале (0; 1). Функция f непрерывна в точках 0 и 1 (так как она непрерывна всюду), следовательно, она убывает на отрезке [0; 1]. Поэтому рисуем график убывающим на отрезке [0; 1] от значения / (0) = 2 до значения /(1) = 0. При этом касательные к графине
ку в точках 0,±1 должны быть горизонтальными — во второй строке таблицы сказано, что в этих точках производная равна нулю. Аналогично строится график и на остальных промежутках.
Пример 2. Найдем число корней уравнения 2х3 — За:2 —
— 12л:— 11 =0.
Рассмотрим функцию f (х) = 2х3 —Зх2—12л: — 11. Ее область определения D (/) = (—оо; оо). Для отыскания критических точек функции f найдем ее производную: f'(x) = 6x2— 6х—12. Эта производная обращается в нуль в точках х= — 1 и х = 2.
Заполним таблицу:
X | (— оо; —1) | -1 | (—1;2) | (2; оо) | |
Г(х) | + | — | + | ||
f(x) | — 4 | — 31 | ^-------- ~ | ||
шах | min |
На промежутке (—оо; —1] функция возрастает от —оо до
— 4, поэтому на этом промежутке уравнение f (х) = 0 корней не имеет. На промежутке [— 1; 2] уравнение также не имеет корней, так как на этом промежутке f убывает от —4 до —31. Наконец, на промежутке [2; с») функция f возрастает от —31 до бесконечности, на этом промежутке уравнение f (х) = 0 имеет один корень (по теореме о корне). Итак, уравнение 2х— Зх2 — 12х— 11=0 имеет один корень и этот корень принадлежит интервалу (2; оо). ф
Упражнения
Исследуйте функцию и постройте ее график (296
296. а) /(х)=х2 — 2х + 8;
б) / (х)— -у—|-х + -|-;
в) f(x) =
297. a) f {х) =
-х2 + 5х + 4; •х3 -{-Зх — 2;
б) f(x) = x 4-
г) f (х)=Зх2-
298. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) f (х)= 1 + 1,5х — Зх2 — 2,5х3; б) f (х) = ^—\—бх+1;
5 3
в) f (х) — \—Ь8х — 5; г) f(х)=х3 — 6х2 — 15х—2.
299. Докажите, что функция f возрастает на множестве R: а) /(х) = 2х — cos х; б) / (х)=х5 + 4х;
в) / (x) = sin х + у-; г) / (х) = 2х3 + х —5.
Исследуйте функцию и постройте ее график (300—302).
300. a) /(*)=—*2——а:5; б) / (*)=4*2 —*4;
в) f{x)=-g-*5—1^-*3; г) f(x) = 5*3 —З*5.
301. a) f(x) = x2 VI + *; б) f (х)= 6;
в) f {х) = х^2 — х\ г) /(*) = 2х
302. a) f (*) = sin2*-f-sin*; б) f (*)
1 т-
в) /(*) = cos2* —cos*; г) f(x) = -^-j-
303. Докажите, что функция / принимает на данном промежутке
положительные значения:
а) / (*) = tg* — *; /=^0;~у, б) f (х)=л/х~-^~; / = [1;оо);
в) /(*) = * —sin*; / = (0; оо);
г) f(x)=x+j— cos*;/=(---; f-].
304. Сколько корней имеет уравнение:
а) 4*3 — З*2 — 36*— 10 = 0; б) ^-*3-^-+3* = 0;
в) *4—4*3 —9 = 0; г) *2—^—1=0?
25. Наибольшее и наименьшее значения функции
Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрезке [а; Ь] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т. е. существуют точки отрезка [а; Ь], в которых f принимает наибольшее и наименьшее на [а; Ь] значения.
Для случая, когда функция f не только непрерывна на отрезке [а; Ь\ но имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек, укажем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений f.
Предположим сначала, что / не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда (п. 23) она возрастает (рис. 112) или убывает (рис. 113) на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наименьшее значения функции / на отрезке [а; Ь] — это значения в концах аи Ь.
Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; Ь] конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; Ь] на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому
![]() |
(см. предыдущий абзац) наибольшее и наименьшее значения функции f на таких отрезках принимаются в их концах, т. е. в критических точках функции или в точках а и Ь.
Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
О Пр имер 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции £/ (л:) = л:3 — 1,5х2 — 6л: -{- 1 на отрезке [ — 2; 0].
Сначала найдем критические точки. Так как производная у' (х) — 3х2— Зх — 6 определена для любого х, остается решить уравнение у'(х) = 0. Решая его, находим х— — 1 и х = 2.
Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел у(— 2)= —1, у(—1) = 4,5 и у(0)=1 (критическая точка х = 2 не принадлежит рассматриваемому отрезку). Ясно, что наименьшее значение достигается в точке —2 и равно —1, а наибольшее — в точке — 1 и равно 4,5. Коротко это записывается так:
0 = 4,5; ^min у (х)=у (-2)= - 1. ф
Изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуют по следующей схеме:
1) задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию / (х);
2) средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;
3) выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.
Вообще решение практических задач средствами математики, как правило, содержит три основных этапа: 1) формализацию (перевод исходной задачи на язык математики); 2) решение полу-
![]() |
ченной математической задачи и 3) интерпретацию найденного решения («перевод» его с языка математики в терминах первоначальной задачи).
С этим общим методом (его называют методом математического моделирования) вы уже знакомы, по описанной схеме решались текстовые задачи в курсе алгебры. Приведем пример его применения.
О Пример 2. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам (рис. 114) квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным?
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 897 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!