Проведем исследование по указанной схеме

1) D (f) — R, так как f — многочлен.

2) Функция / не является ни четной, ни нечетной (докажите это самостоятельно).

3), 4) График f пересекается с осью ординат в точке (0; f (0)); чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить урав­нение Зх⁵ — 5х³ + 2=0, один из корней которого (*==1) легко нахо­дится. Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пере­сечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства
мы находить не будем (как уже отмечалось в п. 4, приведенная схема имеет примерный характер).

5), 6) Найдем производную функции f:

/' (х) = 1 5л:⁴ — 15л:² = 15л:² (л:² — 1).

D(f') = R, поэтому критических точек, для которых f'(х) не существует, нет.

Заметим, что f'(х) = 0, если х² (х²—1) = 0, т. е. при значениях аргумента, равных 0, — 1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки.

Составляем таблицу:

X	(— оо; — 1)	-1	(-1:0)		(0; 1)		0; «>)
	+		—		-		+
fix)							_______ ^
		шах				min

В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежут­ках. (На каждом таком интервале знак производной не меняется, его можно найти, определив знак производной в какой-либо точке рассматриваемого интервала.) В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции: «»— возрастает,

«» — убывает, а в четвертой — о виде критических точек

(пп. 5 и 6 приведенной выше схемы). Критическая точка 0 функ­ции / не является точкой экстремума, поэтому в четвертой строке таблицы она не отмечена. Заметим, что вывод о ходе изменения функции на промежутке между критическими точками часто мож­но сделать, сравнив значения функции на концах этого проме­жутка (вместо определения знака производной). Например, f(0)cf(— 1), поэтому на промежутке (— 1; 0) функция убывает (и,

следовательно, f'с 0 на этом проме­жутке).

Строим график функции (рис. 111). Строить его удобно по промежуткам, которые указаны в таблице. Например, в таблице указано, что f убывает на интервале (0; 1). Функция f непрерыв­на в точках 0 и 1 (так как она не­прерывна всюду), следовательно, она убывает на отрезке [0; 1]. Поэтому ри­суем график убывающим на отрезке [0; 1] от значения / (0) = 2 до значения /(1) = 0. При этом касательные к графи­не

ку в точках 0,±1 должны быть горизонтальными — во второй строке таблицы сказано, что в этих точках производная равна нулю. Аналогично строится график и на остальных промежутках.

Пример 2. Найдем число корней уравнения 2х³ — За:² —

— 12л:— 11 =0.

Рассмотрим функцию f (х) = 2х³ —Зх²—12л: — 11. Ее область определения D (/) = (—оо; оо). Для отыскания критических точек функции f найдем ее производную: f'(x) = 6x²— 6х—12. Эта про­изводная обращается в нуль в точках х= — 1 и х = 2.

Заполним таблицу:

X	(— оо; —1)	-1	(—1;2)		(2; оо)
Г(х)	+		—		+
f(x)		— 4		— 31	^-------- ~
		шах		min

На промежутке (—оо; —1] функция возрастает от —оо до

— 4, поэтому на этом промежутке уравнение f (х) = 0 корней не име­ет. На промежутке [— 1; 2] уравнение также не имеет корней, так как на этом промежутке f убывает от —4 до —31. Наконец, на про­межутке [2; с») функция f возрастает от —31 до бесконечности, на этом промежутке уравнение f (х) = 0 имеет один корень (по тео­реме о корне). Итак, уравнение 2х— Зх² — 12х— 11=0 имеет один корень и этот корень принадлежит интервалу (2; оо). ф

Упражнения

Исследуйте функцию и постройте ее график (296

296. а) /(х)=х² — 2х + 8;

б) / (х)— -у—|-х + -|-;

в) f(x) =

297. a) f {х) =

-х² + 5х + 4; •х³ -{-Зх — 2;

б) f(x) = x ⁴-

г) f (х)=Зх²-

298. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: ^а) f (х)= 1 + 1,5х — Зх² — 2,5х³; б) f (х) = ^—\—бх+1;

5 3

^в) f (^х) — \—Ь8х — 5; г) f(х)=х³ — 6х² — 15х—2.

299. Докажите, что функция f возрастает на множестве R: ^а) /(х) = 2х — cos х; б) / (х)=х⁵ + 4х;

^в) / (x) = sin х + у-; г) / (х) = 2х³ + х —5.

Исследуйте функцию и постройте ее график (300—302).

300. a) /(*)=—*²——а:⁵; б) / (*)=4*² —*⁴;

в) f{x)=-g-*⁵—1^-*³; г) f(x) = 5*³ —З*⁵.

301. a) f(x) = x² VI + *; б) f (х)= ⁶;

^в) f {х) = х^2 — х\ г) /(*) = ^2х

302. a) f (*) = sin²*-f-sin*; б) f (*)

¹ т-

в) /(*) = cos²* —cos*; г) f(x) = -^-j-

303. Докажите, что функция / принимает на данном промежутке

положительные значения:

а) / (*) = tg* — *; /=^0;~у, б) f (х)=_л/х~-^~; / = [1;оо);

в) /(*) = * —sin*; / = (0; оо);

г) f(x)=x+j— cos*;/=(---; f-].

304. Сколько корней имеет уравнение:

а) 4*³ — З*² — 36*— 10 = 0; б) ^-*³-^-+3* = 0;

в) *⁴—4*³ —9 = 0; г) *²—^—1=0?

25. Наибольшее и наименьшее значения функции

Решение многих практических задач часто сводится к нахож­дению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на от­резке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрез­ке [а; Ь] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наи­меньшее значения, т. е. существуют точки отрезка [а; Ь], в которых f принимает наибольшее и наименьшее на [а; Ь] значения.

Для случая, когда функция f не только непрерывна на от­резке [а; Ь\ но имеет на этом отрезке лишь конечное число крити­ческих точек, укажем правило отыскания наибольшего и наимень­шего значений f.

Предположим сначала, что / не имеет на отрезке [а; b] крити­ческих точек. Тогда (п. 23) она возрастает (рис. 112) или убывает (рис. 113) на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наименьшее значения функции / на отрезке [а; Ь] — это значения в концах аи Ь.

Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; Ь] конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; Ь] на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому

(см. предыдущий абзац) наибольшее и наименьшее значения функции f на таких отрезках принимаются в их концах, т. е. в кри­тических точках функции или в точках а и Ь.

Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значе­ния функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

О Пр имер 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции £/ (л:) = л:³ — 1,5х² — 6л: -{- 1 на отрезке [ — 2; 0].

Сначала найдем критические точки. Так как производная у' (х) — 3х²— Зх — 6 определена для любого х, остается решить уравнение у'(х) = 0. Решая его, находим х— — 1 и х = 2.

Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел у(— 2)= —1, у(—1) = 4,5 и у(0)=1 (критическая точка х = 2 не принадлежит рассматриваемому отрезку). Ясно, что наимень­шее значение достигается в точке —2 и равно —1, а наиболь­шее — в точке — 1 и равно 4,5. Коротко это записывается так:

0 = 4,5^; ^min у (х)=у (-2)= - 1. ф

Изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных приклад­ных задач. При этом действуют по следующей схеме:

1) задача «переводится» на язык функций. Для этого выби­рают удобный параметр х, через который интересующую нас ве­личину выражают как функцию / (х);

2) средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;

3) выясняется, какой практический смысл (в терминах пер­воначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

Вообще решение практических задач средствами математики, как правило, содержит три основных этапа: 1) формализацию (перевод исходной задачи на язык математики); 2) решение полу-

Рис. 114

ченной математической задачи и 3) интерпретацию найденного ре­шения («перевод» его с языка математики в терминах первона­чальной задачи).

С этим общим методом (его называют методом математи­ческого моделирования) вы уже знакомы, по описанной схеме решались текстовые задачи в курсе алгебры. Приведем пример его применения.

О Пример 2. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам (рис. 114) квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным?